एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 5.1
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 5.1 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय के प्रश्न उत्तर सीबीएसई सत्र 2024-25 के लिए यहाँ से प्राप्त किए जा सकते हैं। कक्षा 9 गणित की प्रश्नावली को विद्यार्थी परिभाषाओं और कथनों के माध्यम से आसानी से समझ सकते हैं। प्रत्येक प्रश्न को विस्तार से समझकर लिखा गया है ताकि किसी भी छात्र को समझने में दिक्कत न हो।
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 5.1
कक्षा 9 गणित अध्याय 5 प्रश्नावली 5.1 के लिए एनसीईआरटी समाधान
ज्यामिति
शब्द ‘ज्यामिति’ यूनानी भाषा के शब्दों ‘जियो’ और ‘मीट्रीन’ से मिल कर बना है। जियो का अर्थ है ‘पृथ्वी’ या ‘भूमि’ और मीट्रीन का अर्थ है ‘मापना’।
यूक्लिड की परिभाषाएँ, अभिगृहीत और अभिधारणाएँ
यूक्लिड ने इन कथनों को संक्षिप्त रूप से परिभाषाओं के रूप में प्रस्तुत किया। उन्होंने अपने इन रहस्योदघाटनों का प्रारम्भ ‘एलीमेंट्स’ की पुस्तक 1 में 23 परिभाषाएँ देकर किया। इनमें से कुछ परिभाषाएँ नीचे दी जा रही हैंः
परिभाषाएँ
- एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता।
- एक रेखा चौड़ाई रहित लम्बाई होती है।
- एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं।
- एक सीधी रेखा ऐसी रेखा है जो स्वयं पर बिंदुओं के साथ सपाट रूप से स्थित होती है।
- एक पृष्ठ वह है जिसकी केवल लम्बाई और चौड़ाई होती है।
- पृष्ठ के किनारे रेखाएँ होती हैं।
- एक समतल पृष्ठ ऐसा पृष्ठ है जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ सपाट रूप से स्थित होता है।
अभिगृहीत
यूक्लिड के कुछ अभिगृहीतों को, बिना उनके द्वारा दिए क्रम के, नीचे दिया जा रहा हैः
- (1) वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों एक दूसरे के बराबर होती हैं।
- (2) यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
- (3) यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए, तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
- (4) वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों, एक दूसरे के बराबर होती हैं।
- (5) पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
- (6) एक ही वस्तुओं के दुगुने परस्पर बराबर होते हैं।
- (7) एक ही वस्तुओं के आधे परस्पर बराबर होते हैं।
प्रमेय 5.1: दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक बिंदु उभयनिष्ठ नहीं हो सकता।
उपपत्ति
यहाँ, हमें दो रेखाएँ l और m दी हुई हैं। हमें यह सिद्ध करना है कि l और m में केवल एक बिंदु उभयनिष्ठ है।
थोड़े समय के लिए, यह मान लीजिए कि ये दो रेखाएँ दो भिन्न बिंदुओं P और Q पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इस प्रकार, दो भिन्न बिंदुओं P और Q से होकर जाने वाली आपके पास दो रेखाएँ l और m हो जाती हैं। परन्तु यह कथन अभिगृहीत 5-1 के विरुद्ध है, जिसके अनुसार दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है। अतः, हम जिस कल्पना से चले थे कि दो रेखाएँ दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाती हैं गलत है।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक बिंदु उभयनिष्ठ नहीं होगा।
हल सहित उदाहरण
यदि A, B और C एक रेखा पर स्थित तीन बिंदु हैं और B बिंदुओं A और B के बीच में स्थित है तो सिद्ध कीजिए कि AB + BC = AC है।
हल:
AB + BC के साथ AC संपाती है।
साथ ही, यूक्लिड का अभिगृहीत (4) कहता है कि वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों एक दूसरे के बराबर होती हैं। अतः, यह सिद्ध किया जा सकता है कि
AB + BC = AC
है। ध्यान दीजिए कि इस हल में यह मान लिया गया है कि दो बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।
