एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 11.4

सामान्यतः गोले के आयतन को दो प्रकार से परिभाषित कर सकते है। ठोस गोला तथा खोखला गोला। इन दोनों गोला का आयतन एक दूसरें से भिन्न होता है। महान गणितज्ञ ग्रीक दार्शनिक आर्किमिडीज ने गोले के आयतन का सूत्र खोजा था. आर्किमिडीज के अनुसार इसे निम्न प्रकार ज्ञात कर सकते है।
गोले का आयतन उसे परिबद्ध करने वाले बेलन के आयतन का दो-तिहाई होता है, जो ऐसा सबसे छोटा बेलन हो जिसमें गोले को रखा जा सकता हो।
अर्थात, एक गोलाकार वस्तु को एक खोखले बेलन के अंदर रखा जाता है, जहाँ गोलाकार वस्तु की त्रिज्या बेलन के वृत्ताकार आधारों की त्रिज्या के बराबर होती है। और गोले का व्यास बेलन की ऊंचाई के बराबर होता है।

गोले का आयतन= बेलन के आयतन का 2/3 भाग
बेलन का आयतन = πr²h
इसलिए गोले का आयतन = 2/3 (πr²h)
जहाँ r त्रिज्या और h बेलन की ऊंचाई है
हम जानते हैं कि बेलन की ऊंचाई h = गोले का व्यास (2r) (व्यास= 2 × त्रिज्या)
अतः गोले का आयतन = 2/3 (πr² × 2r)
या = 4/3 πr³
इस प्रकार गोले का आयतन = 4/3(πr³)

गोले का वाँछित आयतन = 4/3 πr³
= 4/3 × 22/7 × 11.2 × 11.2 × 11.2 cm³
= 5887.32 cm³

एक शॉट-पट्ट 4.9 cm त्रिज्या वाला एक धातु का गोला है। यदि इस धातु का घनत्व 7.8 ग्राम प्रति cm³ है, तो शॉट-पट्ट का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

हल:
चूँकि शॉट-पट्ट धातु का एक ठोस गोला है तथा द्रव्यमान आयतन और घनत्व के गुणनफल के बराबर होता है, इसलिए पहले हमें शॉट-पट्ट का आयतन ज्ञात करना चाहिए।
गोले का आयतन = 4/3(πr³)
= 4/3 × 22/7 × 4.9 × 4.9 × 4.9 cm³
= 493 cm³
साथ ही, 1 cm³ धातु का द्रव्यमान = 7.8 ग्राम
अतः, शॉट-पट्ट का द्रव्यमान = 7.8 × 493 ग्राम
= 3845.44 ग्राम = 3.85 किलोग्राम (लगभग)

एक अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या 3.5 cm है। इसके अंदर भरे जा सकने वाले पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल:
कटोरे में भरे जा सकने वाले पानी का आयतन = 2/3 πr³
= 2/3 × 22/7 × 3.5 × 3.5 × 3.5 cm³
= 89.8 cm³