एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 11.3

एक लम्ब वृतीय शंकु जिसके आधार की त्रिज्या r है तथा उंचाई h है का आयतन निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात कर सकते हैं:
शंकु का आयतन = 1/3 × π × r² × h
हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि तीन शंकुओं का आयतन बेलन के आयतन के बराबर है। इसका अर्थ है कि यदि शंकु और बेलन की आधार त्रिज्या एक ही हो और ऊँचाई भी एक ही हो, तो शंकु का आयतन बेलन के आयतन का एक-तिहाई होता है।
शंकु का आयतन = 1/3 πr²h

l² = r² + h² से हमें प्राप्त होता है:
r = √(l² – h²) cm
= √(28² – 21²) cm = 7√7 cm
अतः, शंकु का आयतन = 1/3 πr²h
= 1/3 × 22/7 × 7√7 × 7√7 × 21 cm³
= 7546 cm³

मोनिका के पास केनवास का एक टुकड़ा है जिसका क्षेत्रफल 551 m² है। वह इससे 7 m आधार त्रिज्या वाला एक शंकु का आपतन का तंबू बनवाती है। यह मानते हुए कि सिलाई और कटाई में लगभग 1 m² केनवास नष्ट हुआ होगा, इससे बनाए जाने वाले शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:
केनवास का क्षेत्रफल = 551 m² है और 1 m² केनवास सिलाई, इत्यादि में नष्ट हो
जाता है।
अतः, तंबू के लिए उपलब्ध केनवास = (551 – 1) m² = 550 m²
इसलिए, तंबू का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 550 m²
अब, तंबू के आधार की त्रिज्या = 7 m
ध्यान दीजिए कि तंबू की केवल वक्र पृष्ठ ही होती है (तंबू के फर्श को ढका नहीं जाता है)।
अतः, तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 550 m²
अर्थात् πrl = 550
या 22/7 × 7 × l = 550

इसलिए, l = 550/22
l = 25 m
अब l² = r² + h²
इसलिए, h = √(l² − r²) = √(25² − 7²) m = √(625 – 49) m = √576 m
= 24 m
अब तंबू का आयतन = 1/3 πr²h
= 1/3 × 22/7 × 7 × 7 × 24 m³
= 1232 m³

एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए।)

हल:
प्रश्नानुसार शंकु की ऊँचाई h = 15 cm और आयतन = 1570 cm³
शंकु का आयतन = 1/3 πr²h = 1570 cm³
r² = (1570 × 3)/ (3.14 × 15) cm²
= 100 m²
इसलिए, r = 10 cm
शंकु के आधार की त्रिज्या 10 cm है।