एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 11.2

गोला एक त्रिविमीय आकृति (ठोस आकृति) है, जो आकाश में स्थित उन सभी बिंदुओं से मिल कर बनी है जो एक निश्चित बिंदु से (जो गोले का केन्द्र कहलाता है) से एक अचर या निश्चित दूरी पर होते हैं (जो गोले की त्रिज्या कहलाती है)। गोले का केवल एक पृष्ठ होता है।
त्रिज्या r वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = त्रिज्या r वाले चार वृत्तों का क्षेत्रफल
= 4πr²

यदि एक ठोस गोले को इसके केंद्र से जाते हुए एक तल द्वारा दो भागों में काट लें। तो प्रत्येक आधा भाग अर्धगोला कहलाता है।
अर्धगोला का पृष्ठीय क्षेत्रफल
अर्धगोले में दो पृष्ठ होते हैं इनमें एक वक्रीय है और एक समतल फलक है (आधार)।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा, अर्थात् ½ × 4πr² है।
= 2πr²
अतः अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = = 2πr²
जहाँ r उस गोले की त्रिज्या है जिसका अर्धगोला एक भाग है।
अब दोनों फलकों को लेने पर, इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² + πr² है।
अतः, अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²

7 cm त्रिज्या वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
7 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 4 × 22/7 × 7 × 7 cm² = 616 cm²

त्रिज्या 21 cm वाले एक अर्धगोले के लिए, ज्ञात कीजिएः
(i) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल:
(i) त्रिज्या 21 cm वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πr² = 2 × 22/7 × 21 × 21 cm² = 2772 cm²
(ii) अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 3πr² = 3 × 22/7 × 21 × 21 cm² = 4158 cm²

किसी भवन का ऊपरी भाग अर्धगोलाकार है और इस पर पेंट किया जाना है। यदि इस अर्धगोले के आधार की परिधि 17.6 m है, तो रु 5 प्रति 100 cm² की दर से इसे पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल:
चूँकि केवल गोलाकार पृष्ठ पर ही पेंट होगा, इसलिए हमें अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को ज्ञात करने की आवश्यकता है।
अब, आधार की परिधि = 17.6 m है।
इसलिए, 2πr =17.6
अर्थात्, r = 17.6/2 × 7/22 m
= 2.8 m
इसलिए, भवन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × 22/7 × 2.8 × 2.8 m²
= 49.28 m²
अब, 100 cm² पेंटिंग की लागत = रु 5
इसलिए, 1 m² पेंटिंग की लागत = रु 500
अतः, 49-28 m² पेंटिंग की लागत = रु 500 × 49.28 = रु 24640

सर्कस का एक मोटरसाइकिल सवार जिस खोखले गोले के अंदर अपने करतब (खेल) दिखाता है उसका व्यास 7 m है। मोटरसाइकिल सवार के पास ये करतब दिखाने के लिए कितना क्षेत्रफल उपलब्ध है?
हल:
गोले का व्यास = 7 m है। इसलिए त्रिज्या 3.5 m हुई।
अब, करतब दिखाने के लिए, मोटरसाइकिल सवार को उपलब्ध स्थान इस गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2 = 4 × 22/7 × 3.5 × 3.5 m² = 154 m²