एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 9.1

नजमा के पास मुख्य मार्ग के नजदीक एक प्लॉट है। उसका प्लॉट पड़ोस के दूसरे आयताकार प्लॉटों के आकार का नहीं है। इस प्लॉट में सम्मुख भुजाओं का केवल एक युग्म समांतर है। इसलिए यह लगभग समलंब के आकार का है। हम इस प्लॉट के शीर्षों को नाम देते हैं।
EC ∥ AB, खींचकर हम इसे दो भागों में बाँट सकते हैं जिनमें एक आयताकार आकार है और दूसरा त्रिभुज के आकार का है। (यह C पर समकोण है)
आयताकार भाग की माप इस प्रकार है लम्बाई = 20 मीटर
चौड़ाई = 12 मीटर
त्रिभुज का आधार = 12 मीटर तथा ऊंचाई = 10 मीटर
∆ ABC = ½ h × c = ½ × 12 × 10 = 60 m²
आयत ABCE का क्षेत्रफल = h × a = 12 × 20 = 240 m²
समलंब चतुर्भुज ABDE का क्षेत्रफल = ∆ ABC का क्षेत्रफल + आयत ABCE का क्षेत्रफल
= 60 + 240 = 300 m²

हम इन दो क्षेत्रफलों को संयुक्त रूप में लिखते हैं। इस प्रकार
समलंब ABDE का क्षेत्रफल = ½ h × c + h × a
= h (c + 2a)/2
चूँकि c + a = b
इसलिए, समलंब ABDE का क्षेत्रफल h (b + a)/2
= (ऊंचाई × समान्तर भुजाओं का योग)/2
इस व्यंजक में h, b तथा a का मान रखने पर हम h (b + a)/2 = 300 m² प्राप्त होता है।
इस प्रकार समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें समांतर भुजाओं की लंबाई और इन दो समांतर भुजाओं के बीच लंबवत् दूरी की आवश्यकता है। समांतर भुजाओं की लंबाइयों का योग और इनके बीच की लंबवत् दूरी के गुणनफल के आधे से हमें समलंब का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

किसी सामान्य चतुर्भुज का एक विकर्ण खींचकर उसे दो त्रिभुजों में विभक्त किया जा सकता है। यह ‘विभक्त करने की क्रिया’ सामान्य चतुर्भुज के लिए सूत्र ज्ञात करने में सहायता करती है।
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ∆ ABC का क्षेत्रफल + ∆ ADC का क्षेत्रफल
= (½ × AC × h₁) + (½ × AC × h₂)
= ½ × AC (h₁ + h₂)
= ½ × d (h₁ + h₂)
यहाँ AC की लंबाई d है।

त्रिभुजों में विभक्त करने वाली इस विधि को हम समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र ज्ञात करने में उपयोग कर सकते हैं। ABCD एक समचतुर्भुज है। इसलिए इसके विकर्ण एक दूसरे के लंब समद्विभाजक हैं।
समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = (∆ ACD का क्षेत्रफल) + (∆ ABC का क्षेत्रफल)
= (½ × AC × OD) + (½ × AC × OB) = ½ × AC (OD + OB)
= ½ × AC × BD = ½ × d₁ × d₂
जहाँ AC = d₁ और BD = d₂
दूसरे शब्दों में, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।

हम एक चतुर्भुज को त्रिभुजों में खंडित करते हैं और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। इसी प्रकार की विधि बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयोग की जा सकती है। एक पंचभुज ABCDE को तीन भागों में बाँटा गया है। इसलिए ABCDE का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल + (∆ADC का क्षेत्रफल + ∆AED का क्षेत्रफल।