एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 9.3

समीकरण Ax + By + C = 0 का लेखाचित्र सदैव एक सरल रेखा होता है। इसलिए, जब A और B एक साथ शून्य नहीं हैं तो Ax + By + C = 0 के रूप का कोई समीकरण रेखा का व्यापक रैखिक समीकरण या रेखा का व्यापक समीकरण कहलाता है।
Ax + By + C = 0 के विभिन्न रूप
ढाल-अंतःखंड रूप
यदि B ≠ 0, तो Ax + By + C = 0 को
y = – (A/B)x – C/B
या y = mx + c
जहाँ m = – A/B तथा c = – C/B के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि समीकरण (1) उस रेखा की ढाल-अंतःखंड रूप है जिसकी ढाल – A/B और y-अंतःखंड – C/B है। यदि B = 0 तो x = – C/B, जो कि एक ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण है जिसकी ढाल अपरिभाषित और x-अंतःखंड – C/A है।

एक बिंदु की किसी रेखा से दूरी बिंदु से रेखा पर डाले लंब की लंबाई है। मान लीजिए कि L: Ax + By + C = 0 एक रेखा है, जिसकी बिंदु P (x₁, y₁) से दूरी d है।
बिंदु P से रेखा पर लंब PL खींचिए यदि रेखा x-अक्ष और y-अक्ष को क्रमशः Q और R, पर मिलती है तो इन बिंदुओं के निर्देशांक
Q (-C/B, 0) और P (0, (-C/B) हैं।

त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल निम्नलिखित प्रकार से किया जा सकता हैः
क्षेत्रफल (∆ PQR) = ½ PM × QR, जिसमें PM = 2 × क्षेत्रफल (∆ PQR) / QR (1)
साथ ही ∆ PQR का क्षेत्रफल = ½ [x₁(0 + C/B) + (- C/A)(- C/B – y₁) + 0 (y₁ – 0)]
= ½ [x₁(C/B) + y₁ (C/A) + C²/AB]
या 2 क्षेत्रफल (∆ PQR) = [C/AB] × [Ax₁ + By₁ + C]
और QR = √{(0 + C/A)² + (C/B – 0)²} = [C/AB] × √(A² + B²)
∆ PQR के क्षेत्रफल और QR के मान (1) में रखने पर,
PM = [Ax₁ + By₁ + C]/√(A² + B²)
या d = [Ax₁ + By₁ + C]/√(A² + B²)
इस प्रकार, बिंदु (x₁, y₁) से रेखा Ax + By + C = 0 की लांबिक दूरी d इस प्रकार है:
d = [Ax₁ + By₁ + C]/√(A² + B²)

जानते हैं कि समांतर रेखाओं की ढाल समान होते हैं। इसलिए, समांतर रेखाएँ इस रूप में लिखी जा सकती हैं
y = mx + c₁
और y = mx + c₂
रेखा (1) x-अक्ष पर बिंदु A में प्रतिच्छेद करेगी। दो रेखाओं के बीच की दूरी, बिंदु A से रेखा (2) पर लंब की लंबाई है। इसलिए, रेखाओं (1) और (2) के बीच की दूरी
d = [c₁ – c₂]/√(1 + m²) है।
यदि रेखाएँ व्यापक रूप में दी गई हैं अर्थात Ax + By + C₁ = 0 और Ax + By + C₂ = 0 तो उपर्युक्त सूत्र
d = [C₁ – C₂]/√(A² + B²) का रूपले लेता है।