एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 7.1

गणित में द्विपद प्रमेय एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय सूत्र है जो x + y प्रकार के द्विपद के किसी धन पूर्णांक घातांक का मान x एवं y के nवें घात के बहुपद के रूप में प्रदान करता है।

द्विपद विस्तार विधि
द्विपद विस्तार में गुणांक से तात्पर्य है किसी विशिष्ट घात का गुणांक ज्ञात करना। द्विपद प्रसार में विशिष्ट घात का गुणांक ज्ञात करने के लिए व्यापक पद के सूत्र का प्रयोग किया जाता है। व्यापक पद के सूत्र द्वारा विशिष्ट घात के पद को ज्ञात करके उसका गुणांक ज्ञात किया जा सकता है।
निम्नलिखित सर्वसमिकाओं पर हम विचार करेंः
(a + b)⁰ = 1; a + b ≠¬ 0
(a + b)¹ = a + b
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁴ = (a + b)³ (a + b) = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

इन प्रसारों में हम देखते हैं कि
(i) प्रसार में पदों की कुल संख्या, घातांक से 1 अधिक है। उदाहरणतः (a + b)² के प्रसार में (a + b)² का घात 2 है जबकि प्रसार में कुल पदों की संख्या 3 है।
(ii) प्रसार के उत्तरोत्तर पदों में प्रथम a की घातें एक के क्रम से घट रही हैं जबकि द्वितीय राशि b की घातें एक के क्रम से बढ़ रही हैं।
(iii) प्रसार के प्रत्येक पद में a तथा b की घातों का योग समान है और a + b की घात के बराबर है।
एक द्विपद की उच्च घातों का प्रसार भी पास्कल के त्रिभुज के प्रयोग द्वारा संभव है। आइए हम पास्कल त्रिभुज का प्रयोग करके (2x + 3y)⁵ का विस्तार करें। घात 5 की पंक्ति हैः
(2x + 3y)⁵ = (2x)⁵ + 5(2x)⁴ (3y) + 10(2x)³ (3y)² +10 (2x)² (3y)³ + 5(2x)(3y)⁴ + (3y)⁵
= 32x⁵ + 240x⁴y + 720x³y² + 1080x²y³ + 810xy⁴ + 243y⁵.

संचय के सूत्रें का प्रयोग करके, पास्कल त्रिभुज में लिखी संख्याओं को पुनः लिखते हैं।
ⁿCᵣ = n! /(n – r)! r!, 0 ≤ r ≤ n जहाँ n ऋणेतर पूर्णांक है। ⁿC₀ = 1 = ⁿCₙ
इस प्रकार (a + b)⁷ = ⁷C₀a⁷ + ⁷C₁a⁶b + ⁷C₂a⁵b² + ⁷C₃a⁴b³ + ⁷C₄a³b⁴ + ⁷C₅a²b⁵ + ⁷C₆ab⁶ + ⁷C₇b⁷

(x² + x/3)⁴, x ≠ 0 का प्रसार ज्ञात कीजिएः
हल:
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके हमें प्राप्त होता है,
(x² + 3/x)⁴ = ⁴C₀(x²)⁴ + ⁴C₁(x²)³3/x + ⁴C₂(x²)²(3/x)² + ⁴C₃(x²)(3/x)³ + ⁴C₄(3/x)⁴
= x⁸ + 4 x⁶ × 3/x + 6x⁴ × 9/x² + 4x² × 27/x³ + 81/x⁴
= x⁸ + 12x⁵ + 54x² + 108/x + 81/x⁴

(98)⁵ की गणना कीजिए।
हल:
हम 98 को दो संख्याओं के योग या अंतर में व्यक्त करते हैं जिनकी घात ज्ञात करना सरल हो, फिर द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हैं।
98 को 100 – 2 लिखने पर,
(98)⁵ = (100 – 2)⁵
= ⁵C₀(100)⁵ + ⁵C₁(100)⁴(-2) + ⁵C₂(100)³(-2)² + ⁵C₃(100)² (-2)³ + ⁵C₄(100)(-2)⁴ + ⁵C₅(-2)⁵
= = 10000000000 – 5 × 100000000 × 2 + 10 × 1000000 × 4 – 10 ×10000 × 8 + 5 × 100 × 16 – 32
= 10040008000 – 1000800032
= 9039207968