एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 6 विविध प्रश्नावली

मान लीजिए कि हमें शब्द ROOT के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है। इस दशा में, सभी अक्षर भिन्न-भिन्न नहीं है। यहाँ O अक्षर दो बार प्रयोग हुआ है। हम इन दोनों O को अस्थाई रूप से भिन्न-भिन्न मान लेते हैं जैसे O₁ और O₂ अब इस दशा में 4 विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या 4! है।

इन क्रमचयों में से एक क्रमचय RO₁O₂T पर विचार कीजिए। इसके संगत, यहाँ पर 2! क्रमचय RO₁O₂T तथा RO₂O₁T ऐसे हैं जो कि समान क्रमचय होते यदि O₁ तथा O₂ को भिन्न-भिन्न नहीं माना गया होता अर्थात् यदि O₁ तथा O₂ दोनों क्रमचय में O होते। अतएव, क्रमचयों की अभीष्ट संख्या
= 4!/2! = 3 × 4 = 12

प्रमेय 1:
वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ P वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न प्रकार की हैं
= n!/p!
वस्तुतः इस संबंध में एक अधिक व्यापक प्रमेय हैं जो नीचे वर्णित हैः
प्रमेय 2:
n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या n!/p₁! p₂! ……. Pₖ! है। जहाँ P₁ वस्तुएँ एक प्रकार की, P₂ वस्तुएँ दूसरे प्रकार की, ……, Pₖ वस्तुएँ k प्रकार की और शेष (यदि कोई है) विभिन्न प्रकार की हैं।

ALLAHABAD शब्द के अक्षरों से बनने वाले क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ पर 9 अक्षर हैं, जिनमें A, 4 बार आया है, 2 बार L आया है तथा शेष विभिन्न प्रकार के हैं। अतएव विन्यासों की अभीष्ट संख्या
= 9! / 4!2!
= (5 × 6 × 7 × 8 × 9) / 2
= 7560

1 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?
हल:
यहाँ पर अंकों का क्रम महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए 1234 तथा 1324 दो भिन्न-भिन्न संख्याएँ हैं। अतः 4-अंकीय संख्याओं की संख्या 9 विभिन्न अंकों में से एक समय में 4 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या के बराबर है। इस प्रकार 4-अंकीय संख्याओं की अभीष्ट संख्या
= ⁹P₄ = 9! / (9 – 4)!
= 9! / 5! = 6 × 7 × 8 × 9 = 3024

100 से 1000 के बीच स्थित कितनी संख्याएँ हैं, जिन्हें अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5 से बनाया जा सकता है, यदि अंकों के पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है।
हल:
100 से 1000 के बीच स्थित प्रत्येक संख्या एक 3 अंकीय संख्या है। प्रथम हम 6 अंकों में से एक समय में 3 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या की गणना करते हैं। यह संख्या ⁶P₃ है परंतु इन क्रमचयों में वे भी सम्मिलित हैं, जिनमें 0, सैकड़े के स्थान पर है। उदाहरण के लिए
092, 042 —- इत्यादि और ये ऐसी संख्याएँ है जो वास्तव में 2 अंकीय हैं। अतः अभीष्ट संख्या को ज्ञात करने के लिए, इस प्रकार की 2 अंकीय संख्याओं के ⁶P₃ में से घटाना पड़ेगा। अब इन 2-अंकीय संख्याओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 0 को सैकड़े के स्थान पर स्थिर कर देते हैं और शेष 5 अंको से एक समय में दो अंकों को लेकर बनने वाले पुनर्विन्यासों की संख्या ज्ञात करते हैं। यह संख्या ⁵P₂ है। अतः अभीष्ट संख्या
= ⁶P₃ – ⁵P₂ = 6! / 3! – 5! / 2!
= 6 × 5 × 4 – 5 × 4 × 3
= 120 – 60 = 60