एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 6.4

दी गई वस्तुओं में से कुछ अथवा सभी को एक साथ लेकर क्रम का ध्यान u रखते हुए जो भिन्न-भिन्न समूह बनाए जाते हैं उन्हें उन वस्तुओं का संचय कहते हैं।
उदाहरण:
मान लीजिए कि 3 लॉन टेनिस खिलाडि़यों X, Y, Z का एक समूह है। 2 खिलाडि़यों की एक टीम बनानी है। इसको हम कितने प्रकार से कर सकते हैं? क्या X और Y की टीम, Y तथा X की टीम से भिन्न है? यहाँ पर खिलाडि़यों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है। वास्तव में टीम बनाने के केवल तीन ही संभव तरीके हैं। यह XY, YZ तथा ZX हैं।
यहाँ पर, प्रत्येक चयन, 3 विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में 2 को लेकर बना हुआ, संचय कहलाता है। किसी संचय में चयनित वस्तुओं का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है।

मान लीजिए कि हमारे पास 5 विभिन्न वस्तुएँ A, B, C, D, E हैं। इनमें से एक समय में 3 वस्तुओं को लेकर, यदि हम संचय बनाते हैं, तो ये ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACE, ACD, ADE, BDE इन ⁵C₃ संचयों में से प्रत्येक के संगत 3! क्रमचय हैं, क्योंकि प्रत्येक संचय की तीन वस्तुओं को 3! तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए क्रमचयों की कुल संख्या = ⁵C₃ × 3!
अतः ⁵P₃ = ⁵C₃ × 3! या 5! /(5! – 3!) 3! = ⁵C₃

प्रमेय:
ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!, 0 < r ≤ n
उपपत्ति
ⁿCᵣ संचयों में से प्रत्येक के संगत r! क्रमचय हैं, क्योंकि प्रत्येक संचय के r वस्तुओं को r! तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः n विभिन्न वस्तुओं में से, एक समय में r वस्तुओं को लेकर बनने वाले क्रमचयों की कुल संख्या ⁿCᵣ × r!, है। दूसरी ओर यह संख्या ⁿPᵣ
है।
इस प्रकार ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!, 0 < r ≤ n

1. उपर्युक्त परिणाम से n! /(n – r)! = ⁿCᵣ × r! अर्थात् ⁿCᵣ = n! /(n – r)!r!
विशेष रूप से यदि r = n हो तो ⁿCₙ = n! /0!r! = n!/ n! = 1
2. हम परिभाषित करते हैं कि ⁿC₀ = 1, अर्थात् n विभिन्न वस्तुओं में से केवल उन तरीकों की संख्या की गणना करना है जहाँ कुछ भी वस्तु लिए बिना बनाए गए संचयों की संख्या 1 मानी जाती है। संचयों की गणना करना, जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का चयन किया जाता है। कुछ भी वस्तु लिए बिना चयन करना, इस बात के समान है कि सभी वस्तुओं को छोड़ दिया गया है और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल मात्र एक तरीका है। इसी प्रकार, हम परिभाषित करते हैं कि ⁿC₀ = 1.
3. क्योंकि n! /(n – 0)!0! = 1 = ⁿC₀
इसलिए, सूत्र ⁿCᵣ = n! /(n – r)!r!, r = 0 के लिए भी उपयुक्त है।
अतः ⁿCᵣ = n! /(n – r)! r!, 0 ≤ r ≤ n
4. ⁿCₙ₋ᵣ = n! /(n – r)!{n – (n – r)}!, = ⁿCᵣ
अर्थात्, n वस्तुओं में से r वस्तुओं का चयन करना, (n – r) वस्तुओं को अस्वीकार करने के समान है।
5. ⁿCₐ = ⁿC ⟹ a = b; या a = n – b, अर्थात् n = a + b