एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 4 विविध प्रश्नावली

मान लीजिए z₁ = a + ib और z₂ = c + id कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तब गुणनफल z₁ × z₂ निम्नलिखित रूप से परिभाषित किया जाता हैः
z₁ × z₂ = (ac – bd) + i(ad + bc)
उदाहरण के लिए (3 + i5) (2 + i6) = (3 × 2 – 5 × 6) + i(3 × 6 + 5 × 2) = – 24 + i28

सम्मिश्र संख्याओं के गुणन की संक्रिया में निम्नलिखित प्रगुण होते हैंः
(i) संवरक नियम
दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल, एक सम्मिश्र संख्या होती है, सारी सम्मिश्र संख्याओं z₁ तथा z₂ के लिए, गुणनफल z₁ × z₂ एक सम्मिश्र संख्या होती है।
(ii) क्रम विनिमय नियम
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z₁ तथा z₂ के लिए, z₁ × z₂ = z₂ × z₁
(iii) साहचर्य नियम
किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं z₁, z₂ तथा z₃ के लिए
(z₁ × z₂) × z₃ = z₁ × (z₂ × z₃)

(iv) गुणात्मक तत्समक का अस्तित्व
सम्मिश्र संख्या 1 + i0 (1 के द्वारा दर्शाया जाता है),
गुणात्मक तत्समक अथवा एकल सम्मिश्र संख्या कहलाता है जिससे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या z के लिए z.1 = z
(v) गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व प्रत्येक शून्येत्तर सम्मिश्र संख्या z = a + ib (a ≠ 0, b ≠ 0) के लिए, हमें सम्मिश्र संख्या
a/(a² + b²) + i{-b/(a² + b²) (1/z अथवा z⁻¹ के द्वारा दर्शाया जाता है) प्राप्त होती है, z की गुणात्मक प्रतिलोम कहलाती है जिससे कि
z.1/z = 1 (गुणात्मक तत्समक)
(iv) बंटन नियम किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं z₁, z₂, z₃ के लिए
(a) z₁ (z₂ + z₃) = z₁ z₂ + z₁ z₃
(a) (z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ + z₂ z₃

किन्हीं दो दी हुई सम्मिश्र संख्याओं z₁ तथा z₂ के लिए, जहाँ z₂ ≠ 0 भागफल z₁/ z₂ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता है
z₁. (1/ z₂)

मान लीजिए z = a + ib सम्मिश्र संख्या है। तब z का मापांक, जो |z| द्वारा दर्शाया जाता है, को ऋणेत्तर वास्तविक संख्या √(a² + b²) द्वारा परिभाषित किया जाता है अर्थात् |z| = √(a² + b²) और z का संयुग्मी, जो z̅ द्वारा दर्शाया जाता है, सम्मिश्र संख्या a – ib होता है, अर्थात् z̅ = a – ib