एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 4.1

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 4.1 गणितीय आगमन का सिद्धांत के हल प्रश्नों के उत्तर सीबीएसई सत्र 2022-2023 के लिए विद्यार्थी यहाँ से निशुल्क डाउनलोड कर सकते हैं। कक्षा 11 गणित की प्रश्नावली 4.1 के सभी प्रश्नों को छात्र यहाँ पीडीएफ और विडियो के रूप में प्राप्त कर सकते हैं।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 4.1

निगमन विधि

निगमन विधि आर्थिक विश्लेषण की सबसे पुरानी विधि है, इस रीति को काल्पनिक रीति, विश्लेषण रीति, अमूर्त रीति आदि अनेक नामों से जाना जाता है। इस रीति अथवा विधि मे सामान्य से विशिष्ट की ओर बढ़ा जाता है, अर्थात् सामान्य सत्य के आधार पर विशिष्ट सत्य की खोज की जाती है।

आगमन विधि

आगमन विधि, उस विधि को को कहते है, जिसमें विशेष तथ्य एवं घटनाओं के लक्षण एवं विश्लेषण द्वारा सामान्य नियम व सिद्धांतों का निर्माण किया जाता है। आगमन विधि ज्ञात से अज्ञात की ओर, विशिष्ट से सामान्य की ओर एवं मूर्त से अमूर्त की ओर शिक्षण सूत्रों का प्रयोग किया जाता हैका प्रयोग किया जाता है।

गणितीय आगमन का सिद्धांत

गणितीय आगम एक तकनीक है जिसका प्रयोग विविध प्रकार के गणितीय कथनों का सूत्रिकरण करने में किया जा सकता है, जो n के पदों में सूत्रबद्ध हों, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
कल्पना कीजिए धन पूर्णांक P(n) से संबद्ध एक दिया कथन इस प्रकार है कि
(i) n = 1, के लिए कथन सत्य है अर्थात् P(1) सत्य है और
(ii) यदि n = k, एक प्राकृत संख्या, के लिए कथन सत्य है तो n = k + 1, के लिए भी कथन सत्य है अर्थात् P (k + 1) की सत्यता का तात्पर्य है P (k + 1) की सत्यता। अतः सभी प्राकृत संख्या n के लिए P(n) सत्य है।

अभ्यास के लिए प्रश्न और हल

प्रत्येक धन पूर्णांक n के लिए, सिद्ध कीजिए कि 7ⁿ – 3ⁿ, 4 से विभाजित होता है।
मान लीजिए दिया कथन P(n) है अर्थात्
P(n) = 7ⁿ – 3ⁿ, 4 से विभाजित होता है।
n = 1 के लिए
P(1) = 7¹ – 3¹ = 4 जो कि 4 से विभाजित होता है। इस प्रकार P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
कल्पना कीजिए कि एक धन पूर्णांक m के लिए P(m) सत्य है,
अर्थातए P(r): 7ᵐ – 3ᵐ, 4 से विभाजित होता है।
अतः हम लिख सकते हैं 7ᵐ – 3ᵐ = 4d जहाँ d ∈ N
अब, हम सिद्ध करना चाहते हैं कि P(m + 1) सत्य है, जब कभी P(m) सत्य है।
अब 7ᵐ⁺¹ – 3ᵐ⁺¹ = 7ᵐ⁺¹ – 7 × 3ᵐ + 7 × 3ᵐ – 3ᵐ⁺¹
= 7(7ᵐ – 3ᵐ) + 3ᵐ(7 – 3)
= 7 × 4d + 4 × 3ᵐ
= 4 (7d + 3ᵐ)
अंतिम पंक्ति से हम देखते हैं कि 7ᵐ⁺¹ – 3ᵐ⁺¹, 4 से विभाजित होता है। इस प्रकारए P(m + 1) सत्य है जब कभी P(m) सत्य है। इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धांत से प्रत्येक धन पूर्णांक n के लिए कथन P(n) सत्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत में स्मरणीय तथ्य
    1. गणितीय चिंतन का एक मूल आधार निगमनात्मक विवेचन है। निगमन के विपरीत, आगमनिक विवेचन, भिन्न दशाओं के अध्ययन द्वारा एक अनुमानित कथन विकसित करने पर निर्भर करता है, जबतक कि हर एक दशा का प्रेक्षण न कर लिया गया हो।
    2. गणितीय आगमन सिद्धांत एक ऐसा साधन है जिसका प्रयोग विविध प्रकार के गणितीय कथनों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। धन पूर्णांकों से संबंधित इस प्रकार के प्रत्येक कथन को P(n) मान लेते हैं, जिसकी सत्यता n = 1 के लिए जाँची जाती है। इसके बाद किसी धन पूर्णांक m, के लिए P(m) की सत्यता को मान कर P (m + 1) की सत्यता सिद्ध करते हैं।
गणितीय आगमन का सिद्धांत
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