एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 14.2

किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात करने की एक और विधि अभिगृहीतीय दृष्टिकोण है। इस तरीका में प्रायिकताएँ निर्धारित करने के लिए अभिगृहीतियों या नियमों को बर्णित किया गया है।
मान लें कि किसी यादृच्छिक परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S है। प्रायिकता P एक वास्तविक मानीय फलन है जिसका प्रांत S का घात समुच्चय है, और परिसर अंतराल [0, 1], है जो निम्नलिखित अभिगृहीतियों को संतुष्ट करता हैः
(i) किसी घटना E, के लिए, P (E) ≥ 0
(ii) P (S) = 1
(iii) यदि E और F परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं तो P(E ⋃ F) = P(E) + P(F)

अभिगृहित (iii) से यह अनुसरित होता है कि P(∅) = 0. इसे सिद्ध करने के लिए हम F = ∅ लेते हैं और देखते हैं कि E और ∅ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ है, इसलिए अभिगृहीत (iii) से हम पाते हैं कि
P (E ⋃ ∅) = P (E) + P (∅); या P(E) = P(E) + P (∅) अर्थात् P (∅) = 0
मान लीजिए कि ω₁, ω₂, …, ωₙ प्रतिदर्श समष्टि S के परिणाम हैं अर्थात्
S = {ω₁, ω₂, …, ωₙ} है।
प्रायिकता की अभिगृहीतीय परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि
(i) प्रत्येक ωᵢ ∈ S के लिए 0 ≤ P (ωᵢ) ≤ 1
(ii) P (ω₁) + P (ω₂) + …. + P (ωₙ) = 1
(iii) किसी घटना ωᵢ के लिए P(A) = Σ P (ωᵢ), ωᵢ ∈ A

मान लीजिए कि एक परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
S = {ω₁, ω₂, …, ωₙ} है
मान लें कि सभी परिणाम सम संभाव्य हैं, अर्थात् प्रत्येक सरल घटना के घटित होने की संभावना समान है।
अर्थात् सभी ωᵢ ∈ S के लिए, P (ωᵢ) = p जहाँ 0 ≤ P ≤ 1
क्योंकि ∑P(ωᵢ)= 1 इसलिए p+ p + …… + p (n बार) = 1
या np = 1 या p = 1/n
मान लीजिए कि प्रतिदर्श समष्टि S की कोई एक घटना E, इस प्रकार है कि n(S) = n और n(E) = m. यदि प्रत्येक परिणाम सम संभाव्य है तो यह अनुसरित होता है कि
P(E) = m/n = E के अनुकलू परिणामों की सख्ंया / कुल संभावित परिणामों की संख्या

ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गडी में से एक पत्ता निकाला गया है। निकाले गए पत्ते की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि
(i) पत्ता ईंट का है।
(ii) पत्ता इक्का नहीं है।
(iii) पत्ता काले रंग का है (अर्थात् चिड़ी या हुकुम का)
हल:
जब 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी गई गडी में एक पत्ता निकाला जाता है तो संभव परिणामों की संख्या 52 है।
(i) मान लीजिए घटना ‘निकाला गया पत्ता ईंट का है, को A से दर्शाया गया है। स्पष्टतया A में अवयवों की संख्या 13 है।
इसलिए, P(A) = 13/52 = ¼
अर्थात्, एक ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता = 1/4
(ii) मान लीजिए कि घटना ‘निकाला गया पत्ता इक्का है’ को B से दर्शाते हैं। इसलिए ‘निकाला गया पत्ता इक्का नहीं है’ को B¬ से दर्शाया जाएगा।
P(B’) = 1 – P(B) = 1 – 4/52 = 48/52 = 12/13
(iii) मान लीजिए घटना ‘निकाला गया पत्ता काले रंग का है’ को C से दर्शाते हैं। इसलिए समुच्चय C में अवयवों की संख्या = 26
अर्थात्, P(C) = 26/52 = ½
इस प्रकार काले रंग का पत्ता निकालने की प्रायिकता = ½ है।

1. प्रतिदर्श समष्टिः सभी संभावित परिणामों का समुच्चय
2. प्रतिदर्श बिंदुः प्रतिदर्श समष्टि के अवयव
3. घटनाः प्रतिदर्श समष्टि का एक उपसमुच्चय
4. असंभव घटनाः रिक्त समुच्चय
5. निश्चित घटनाः पूर्ण प्रतिदर्श समष्टि
6. पूरक घटना या नहीं-घटना: समुच्चय A’ या S – A
7. घटना A या B: समुच्चय A ⋃ B
8. घटना A और B: समुच्चय A ⋂ B
9. घटना A किंतु B नहींः समुच्चय A – B