एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 8.3

दो कोणों को पूरक कोण तब कहा जाता है जबकि उनका योग 90° के बराबर होता है। एक समकोण ∆ ABC में यदि कोण B समकोण है तो ∠A + ∠C = 90° होगा।
इसलिए, ∠C = 90° – ∠A
∠A + ∠C को पूरक कोणों का युग्म कहा जाता है।
समकोण ∆ ABC में AB आधार है, BC लम्ब है तथा AC कर्ण है।

अतः
1. sin A = लंब/कर्ण = BC/AC
2. cos A = आधार/कर्ण = AB/AC
3. tan A = लंब/आधार = BC/AB
4. cosec A = कर्ण/लंब = AC/BC
5. sec A = कर्ण/आधार = AC/AB
6. cot A = आधार/लंब = AB/BC

आइए, अब हम ∠C = 90° – ∠A के त्रिकोणमितीय अनुपात लिखेते हैं।
सुविधा के लिए हम 90° – ∠A के स्थान पर 90° – A लिखेंगे।

कोण 90° – A की सम्मुख भुजा और संलग्न भुजा क्या होगी?
आप देखेंगे कि AB कोण 90° – A की सम्मुख भुजा है और BC संलग्न भुजा है। अतः
1. sin (90° – A) = लंब/कर्ण = AB/AC
2. cos (90° – A) = आधार/कर्ण = BC/AC
3. tan (90° – A) = लंब/आधार = AB/BC
4. cot (90° – A) = आधार/लम्ब = BC/AB
5. cosec (90° – A) = कर्ण/लम्ब = AC/AB
6. sec (90° – A) = कर्ण/आधार = AC/BC

उपरोक्त दोनों अनुपातों कि तुलना करने पर हम पाते हैं कि
1. sin (90° – A) = AB/AC = cos A
2. cos (90° – A) = BC/AC = sin A
3. tan (90° – A) = AB/BC = cot A
4. cot (90° – A) = BC/AB = tan A
5. cosec (90° – A) = AC/AB = sec A
6. sec (90° – A) = AC/BC = cosec A

टिप्पणी:
sin 0° = 0 = cos 90°, tan 0° = 1 = cot 90° और sec 90°, cosec 0°, tan 90° और cot 0° परिभाषित नहीं है।

एक समीकरण को एक सर्वसमिका तब कहा जाता है जबकि यह संबंधित चरों के सभी मानों के लिए सत्य हो। इसी प्रकार एक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों से संबंधित सर्वसमिका को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका कहा जाता है। जबकि यह संबंधित कोण (कोणों) के सभी मानों के लिए सत्य होता है।
1. cos² A + sin² A = 1 (जहाँ 0° ≤ A ≤ 90°)
2. 1 + tan² A = sec² A
3. cot² A + 1 = cosec² A

1. यदि एक न्यून कोण का एक त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात हो, तो कोण के शेष त्रिकोणमितीय अनुपात सरलता से ज्ञात किए जा सकते हैं।
2. sin A या cos A का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं होता, जबकि sec A या cosec Aका मान सदैव 1 से अधिक या 1 के बराबर होता है।