एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 8.1

त्रिकोणमिति गणित की एक अहम शाखा है, जिसके अंतर्गत समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के सम्बन्धों का का अध्ययन किया जाता है। इसे सरल तरीके से त्रिभुजों का अध्ययन कहा जा सकता है। कोणों को या तो डिग्री या रेडियन में मापा जाता है।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के कुछ अनुपातों का उसके न्यून कोणों के सापेक्ष अध्ययन करेंगे जिन्हें कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कहते हैं। यहाँ हम 0° और 90° के माप वाले कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों को भी परिभाषित करेंगे।
महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय अनुपात:

• 1. sin A = लंब/कर्ण या 1/cosec A
• 2. cos A = आधार/कर्ण या 1/sec A
• 3. tan A = लंब/आधार या 1/cot A
• 4. cosec A = कर्ण/लंब या 1/sin A
• 5. sec A = कर्ण/आधार या 1/cos A
• 6. cot A = आधार/लंब या 1/tan A

अनुपात cosec A, sec A और cot A अनुपातों sin A, cos A तथा tan A के व्युत्क्रम होते हैं।
1. tan A = लंब/आधार या sin A /cos A
2. cosec A = कर्ण/लंब या 1/sin A
3. sec A = कर्ण/आधार या 1/cos A
4. cot A = आधार/लंब या cos A /cot A

नोट:
यदि कोण समान बना रहता हो, तो एक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों में त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयों के साथ कोई परिवर्तन नहीं होता।

टिप्पणी:
क्योंकि समकोण त्रिभुज का कर्ण, त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होता है, इसलिए sin A या cos A का मान सदा ही 1 से कम होता है (या विशेष स्थिति में 1 के बराबर होता है।)

यदि tan A = 4/3, तो कोण A के अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
आइए सबसे पहले हम एक समकोण ∆ ABC खींचें।
अब, हम जानते हैं कि tan A = लम्ब /आधार = BC /AB = 4/3
अतः यदि BC = 4k, तब AB = 3k जहाँ k धन संख्या है।
अब पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर हमें यह प्राप्त होता है।
AC² = AB² + BC² = (4k)² + (3k)² = 25k²
इसलिए, AC = 5k

अब हम इनकी परिभाषाओं की सहायता से सभी त्रिकोणमितीय अनुपात लिख सकते हैं।
1. sin A = लंब/कर्ण = BC/AC = 4k/5k = 4/5
2. cos A = आधार/कर्ण = AB/AC = 3k/5k = 3/5
3. tan A = लंब/आधार = BC/AB = 4k/3k = 4/3
4. cosec A = कर्ण/लंब = AC/BC = 5k/4k = 5/4
5. sec A = कर्ण/आधार = AC/AB = 5k/3k = 5/3
6. cot A = आधार/लंब = AB/BC = 3k/4k = ¾