एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 5.4

इस प्रकार, प्रथम n धन पूर्णांकों का योग का सूत्र
मान लीजिये Sₙ = 1 + 2 + 3 + ……………. +n है
यहाँ a = 1 तथा l = n है
इसलिए Sₙ = n(1 + n) / 2 या Sₙ = n(n + 1) / 2
से प्राप्त किया जाता है

इसका उपयोग पैटर्न के एक सेट को सामान्य बनाने के लिए किया जाता है, जिसे हम अपने दैनिक जीवन में देखते हैं। भोजन की तैयारी, यात्रा के लिए दूरी, समय और लागत का पता लगाना। कारों, ट्रकों, घरों, स्कूली शिक्षा या अन्य उद्देश्यों के लिए ऋण को समझना। खेल को समझना (खिलाड़ी और टीम के आँकड़े होने के नाते)
जैसा कि हमने पहले चर्चा की, अनुक्रम और श्रृंखला हमारे जीवन के विभिन्न पहलुओं में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे हमें किसी स्थिति या घटना के परिणाम की भविष्यवाणी, मूल्यांकन और निगरानी करने में मदद करते हैं और निर्णय लेने में हमारी बहुत मदद करते हैं।

माना A.P. का प्रथम पद a₁ है तथा सार्व अंतर d है।
इसकिये a₃ = a₁ + (3 – 1) d = a₁ + 2d
a₇ = a₁ + 6d
प्रश्नानुसार
a₃ + a₇ = a₁ + 2d + a₁ + 6d = 6
या a₁ + 4d = 3 (1)
प्रश्नकी दूसरी शर्त के अनुसार
a₃ × a₇ = (a₁ + 2d) × (a₁ + 6d) = 8
या a₁² + 8a₁d + 12d² = 8 (2)
समीकरण 1 को इसप्रकार भी लिख सकते हैं a₁ = 3 – 4d इस मान को समीकरण 2 में रखने पर
(3 – 4d)² + 8(3 – 4d) d + 12d² = 8
या d = ½, -1/2
यह मान समीकरण 1 में रखने पर
a₁ = 1, 5
S₁₆ = ½ के लिए प्रथम 16 पदों का योग
S₁₆ = 8[2 + 15 × ½] = 4[4 + 15] = 76
यदि a₁ = 5 और d = -½ के लिए प्रथम 16 पदों का योग
S₁₆ = 8[10 + 15 × -½] = 4[20 – 15] = 20
अतः S₁₆ के दो अलग-अलग मान 76, 20 हैं जो a₁ और d के दो अलग मानों के लिए प्राप्त हुए हैं।

प्रश्न के अनुसार n = 7, d = -20 तथा S₇ = 700, हमें ज्ञात करना है प्रत्येक पुरस्कार की राशि कितनी है।
माना प्रथम पुरस्कार रु a है
इसलिए S₇ = 7/2[2a + (7 – 1) (-20)] = 700
या 2a – 120 = 200
या a = 320/2 = 160
इसलिए प्रथम पुरस्कार रु 160 है। इसप्रकार द्वितीय रु 140, तृतीय रु 120, चतुर्थ रु 100, पंचम रु 80, छठा रु 60 तथा सातवाँ रु 40 है।

यहाँ d = 7 और a₂₂ = 149
सूत्र के अनुसार aₙ = a₁ + (n – 1) d
a₂₂ = a₁ + (22 – 1) 7 = 149
या a₁ = 149 – 147 = 2
अब, S₂₂ = 22/2[4 + 21 × 7] = 11 × 151 = 1661
अतः प्रथम 22 पदों का योग 1661 है।

• 1. एक समांतर श्रेढ़ी संख्याओं की ऐसी सूची होती है, जिसमें प्रत्येक पद (प्रथम पद के अतिरिक्त) अपने से ठीक पहले पद में एक निश्चित संख्या d जोड़कर प्राप्त होता है। यह निश्चित संख्या d इस समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर कहलाती है। एक A. P. का व्यापक रूप a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . . है।
• 2. संख्याओं की एक दी हुई सूची A. P. होती है, यदि अंतरों a₂ – a₁, a₃ – a₂, a₄ – a₃, . . ., से एक ही (समान) मान प्राप्त हो, अर्थात् k के विभिन्न मानों के लिए aₖ – aₖ₋₁ एक ही हो।
• 3. प्रथम पद a और सार्व अंतर d वाली A. P. का nवाँ पद (या व्यापक पद) aₙ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता हैः aₙ = a + (n – 1) d