एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 5.3

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 5 प्रश्नावली 5.3 समांतर श्रेढियाँ के हल हिंदी में सीबीएसई और राजकीय बोर्ड सत्र 2022-2023 के लिए छात्र यहाँ से प्राप्त करें। प्रत्येक प्रश्न को सरल तरीके से चरण दर चरण हल करके दिखाया गया है। 10वीं गणित के अभ्यास 5.3 के सभी प्रश्न उत्तर हल सहित पीडीएफ और विडियो के माध्यम से विद्यार्थी यहाँ से प्राप्त कर सकते हैं।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 5 प्रश्नावली 5.3

समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग

एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र बना सकते हैं।
हम समान्तर श्रेढ़ी को पहले पद a और सार्व अंतर d के साथ n पदों के लिए निम्नानुसार लिखते हैं।
a, a + d, a + 2d + ……….. + a + (n – 1) d
समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों के योग को Sₙ द्वारा निरूपित किया जाता है, इसलिए हम लिख सकते है:

Sₙ = a + (a + d) + (a + 2d) + ……….. + [a + (n – 2) d] + [a + (n – 1) d] (1)
उलटे क्रम में सभी पदों को फिर से लिखते है:
Sn = [a + (n – 1) d] + [a + (n – 2) d] + ………. + (a + 2d) + (a + d) + a (2)

अब समीकरण (1) और (2) दोनों को जोड़ने पर,
Sₙ + Sₙ = [a + a + (n – 1) d] + [(a + d) + a + (n – 2) d] +…..+ [a + (n – 2) d + (a + d)] + [a + (n – 1) d + a]
2Sₙ = [2a + (n – 1) d] + [a + d + a + nd – 2d] +…..+ [a + nd – 2d + a + d] + [2a + (n – 1) d]
2Sₙ = [2a + (n – 1)d] + [2a + nd – d] +……………..+ [2a + nd – d] + [2a + (n – 1) d]
2Sₙ = [2a + (n – 1)d] + [2a + (n – 1)d] +……………..+ [2a + (n – 1) d] + [2a + (n – 1) d] {n बार}
2Sₙ = [2a + (n – 1) d]⨯n
Sₙ = [2a + (n – 1) d] ⨯ n/2
Sₙ = n/2[2a + (n – 1) d]
इसलिये, एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग Sₙ = n/2[2a + (n – 1) d] है।
दूसरे रूप में Sₙ = n/2[a + aₙ] = n/2[a + l]

ध्यान देनें योग्य बात

परिणाम का यह रूप उस स्थिति में उपयोगी है, जब A. P. के प्रथम और अंतिम पद दिए हों तथा सार्व अंतर नहीं दिया गया हो।
A. P. का nवाँ पद
किसी A. P. का nवाँ पद उसके प्रथम n पदों के योग और प्रथम (n – 1) पदों के योग के अंतर के बराबर है।
अर्थात् aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ है।

समांतर श्रेणी के योग का उदाहरण

8, 3, -2, ……………… के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
यहाँ a = 8, d = 3 – 8 = -5 और n = 22 है।
हम जानते हैं कि
Sₙ = n/2[2a + (n – 1) d]
अतः S₂₂ = 22/2[2 × 8 + (22 – 1) (-5)]
= 11(16 – 105) = 11(–89) = – 979
इसलिए, दी हुई A. P. के प्रथम 22 पदों का योग – 979 है।

यदि किसी A. P. के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है तथा इसका प्रथम पद 10 है तो 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

यहाँ S₁₄ = 1050, n = 14 और a = 10 हैं
चूँकि Sₙ = n/2[2a + (n – 1) d]
इसलिए, 1050 = 14/2[20 + 13d]
अर्थात् 910 = 91d
अतः d = 10
अतः a₂₀ = [10 + (20 – 1) 10] = 200
अर्थात् 20वाँ पद 200 है।

24, 21, 18, …………. के कितने पद लिए जाएँ, ताकि उनका योग 78 हो?

यहाँ a = 24 तथा d = 21 – 24 = -3 है और Sₙ = 78 है। हमें n ज्ञात करना है।
चूँकि Sₙ = n/2[2a + (n – 1) d]
अतः 78 = n/2[2 × 24 + (n – 1) (-3)] = n/2[51 – 3n]
3n² – 51n + 156 = 0
या n² – 17n + 52 = 0
या (n – 4)(n – 13) = 0
अतः n = 4 और k 13
n के ये दोनों मान संभव हैं और स्वीकार किए जा सकते हैं।
अतः, पदों की वांछित संख्या या तो 4 है या 13 है।

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