एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 5.3

एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र बना सकते हैं।
हम समान्तर श्रेढ़ी को पहले पद a और सार्व अंतर d के साथ n पदों के लिए निम्नानुसार लिखते हैं।
a, a + d, a + 2d + ……….. + a + (n – 1) d
समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों के योग को Sₙ द्वारा निरूपित किया जाता है, इसलिए हम लिख सकते है:

Sₙ = a + (a + d) + (a + 2d) + ……….. + [a + (n – 2) d] + [a + (n – 1) d] (1)
उलटे क्रम में सभी पदों को फिर से लिखते है:
Sn = [a + (n – 1) d] + [a + (n – 2) d] + ………. + (a + 2d) + (a + d) + a (2)

अब समीकरण (1) और (2) दोनों को जोड़ने पर,
Sₙ + Sₙ = [a + a + (n – 1) d] + [(a + d) + a + (n – 2) d] +…..+ [a + (n – 2) d + (a + d)] + [a + (n – 1) d + a]
2Sₙ = [2a + (n – 1) d] + [a + d + a + nd – 2d] +…..+ [a + nd – 2d + a + d] + [2a + (n – 1) d]
2Sₙ = [2a + (n – 1)d] + [2a + nd – d] +……………..+ [2a + nd – d] + [2a + (n – 1) d]
2Sₙ = [2a + (n – 1)d] + [2a + (n – 1)d] +……………..+ [2a + (n – 1) d] + [2a + (n – 1) d] {n बार}
2Sₙ = [2a + (n – 1) d]⨯n
Sₙ = [2a + (n – 1) d] ⨯ n/2
Sₙ = n/2[2a + (n – 1) d]
इसलिये, एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग Sₙ = n/2[2a + (n – 1) d] है।
दूसरे रूप में Sₙ = n/2[a + aₙ] = n/2[a + l]

परिणाम का यह रूप उस स्थिति में उपयोगी है, जब A. P. के प्रथम और अंतिम पद दिए हों तथा सार्व अंतर नहीं दिया गया हो।
A. P. का nवाँ पद
किसी A. P. का nवाँ पद उसके प्रथम n पदों के योग और प्रथम (n – 1) पदों के योग के अंतर के बराबर है।
अर्थात् aₙ = Sₙ – Sₙ₋₁ है।

8, 3, -2, ……………… के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
यहाँ a = 8, d = 3 – 8 = -5 और n = 22 है।
हम जानते हैं कि
Sₙ = n/2[2a + (n – 1) d]
अतः S₂₂ = 22/2[2 × 8 + (22 – 1) (-5)]
= 11(16 – 105) = 11(–89) = – 979
इसलिए, दी हुई A. P. के प्रथम 22 पदों का योग – 979 है।

यहाँ S₁₄ = 1050, n = 14 और a = 10 हैं
चूँकि Sₙ = n/2[2a + (n – 1) d]
इसलिए, 1050 = 14/2[20 + 13d]
अर्थात् 910 = 91d
अतः d = 10
अतः a₂₀ = [10 + (20 – 1) 10] = 200
अर्थात् 20वाँ पद 200 है।

यहाँ a = 24 तथा d = 21 – 24 = -3 है और Sₙ = 78 है। हमें n ज्ञात करना है।
चूँकि Sₙ = n/2[2a + (n – 1) d]
अतः 78 = n/2[2 × 24 + (n – 1) (-3)] = n/2[51 – 3n]
3n² – 51n + 156 = 0
या n² – 17n + 52 = 0
या (n – 4)(n – 13) = 0
अतः n = 4 और k 13
n के ये दोनों मान संभव हैं और स्वीकार किए जा सकते हैं।
अतः, पदों की वांछित संख्या या तो 4 है या 13 है।