एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 4.3

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.3 द्विघात समीकरण के हल हिंदी में सीबीएसई सत्र 2022-2023 के लिए छात्र यहाँ से प्राप्त कर सकते हैं। 10वीं कक्षा गणित के ये समाधान सीबीएसई के साथ साथ राजकीय बोर्ड के छात्रों के लिए भी उपयोगी हैं। अभ्यास 4.3 के सभी प्रश्नों के हल पीडीएफ तथा विडियो के रूप में उपयोग के लिए मुफ्त हैं। ये समाधान हिंदी और अंग्रेजी दोनों ही भाषाओं में दिए गए हैं।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.3

द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल

इस विधि को समझने के लिए हम एक उदाहरण का सहारा लेते हैं:
सुनीता की दो वर्ष पूर्व आयु (वर्षों में) तथा अब से चार वर्ष उपरांत की आयु का गुणनफल उसकी वर्तमान आयु के दो गुने से एक अधिक है। उसकी वर्तमान आयु क्या है?

पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि

इसका उत्तर देने के लिए, माना उसकी वर्तमान आयु (वर्षों में) x है। तब, उसकी 2 वर्ष पूर्व आयु एवं अब से चार वर्ष उपरांत की आयु का गुणनफल (x – 2)(x + 4) है।
इसलिए, (x – 2)(x + 4) = 2x + 1
अर्थात् x² + 2x – 8 = 2x + 1
अर्थात् x² – 9 = 0
अतः सुनीता की वर्तमान आयु द्विघात समीकरण x² – 9 = 0 को संतुष्ट करती है।
हम इसे x² = 9 के रूप में लिख सकते हैं। वर्गमूल लेने पर, हम x = 3 या x = – 3 पाते हैं।
क्योंकि आयु एक धनात्मक संख्या होती है, इसलिए x = 3 ही होगा।
अतः सुनीता की वर्तमान आयु 3 वर्ष है।

द्विघात समीकरण का पूर्णवर्ग बनाना

समीकरण x² + 4x – 5 = 0 को पूर्णवर्ग बनाने के लिए इसको लिख सकते हैं (x + 2)² – 9 या (x + 2)² = 9 लिख सकते हैं।
वास्तव में, हम किसी भी द्विघात समीकरण को (x + a)² – b² = 0 की तरह बना सकते हैं और फिर हम इसके मूल आसानी से प्राप्त कर सकते हैं।
प्रक्रिया निम्न प्रकार से हैः
x² + 4x = {x2 + (4/2) x} + (4/2)x
= x² + 2x + 2x
= (x + 2) x + 2 × x
= (x + 2) x + 2 × x + 2 × 2 – 2 × 2
= (x + 2) x + (x + 2) × 2 – 2 × 2
= (x + 2) (x + 2) – 2²
= (x + 2)² – 4
अतः x² + 4x – 5 = (x + 2)² – 4 – 5 = (x + 2)² – 9
इस प्रकार, x² + 4x – 5 = 0 को पूर्ण वर्ग बनाकर (x + 2)² – 9 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। इसे पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से जाना जाता है।

पूर्णवर्ग बनाने की दूसरी विधि

इसको दर्शाने की एक दूसरी विधि निम्न है:
समीकरण 3x² – 5x + 2 = 0
इसको लिख सकते हैं x² – (5/3)x + 2/3 = 0
अब, {x – (½)(5/3)}² – {(½)(5/3)}² + 2/3
= (x – 5/6)² + 2/3 – 25/36
= (x – 5/6)² – 1/36
= (x – 5/6)² – (1/6)²
अर्थात् (x – 5/6) = +1/6 या – 1/6
इसप्रकार x = 1, 2/3

दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

इस प्रश्न को पूर्णवर्ग विधि द्वारा हल करते हैं
माना पहले वर्ग की एक भुजा का माप x m है तथा दूसरे वर्ग की एक भुजा का माप y m है।
इसप्रकार पहले वर्ग का क्षेत्रफल x² m² है तथा दूसरे का y² m² है
दोनों के क्षेत्रफल का योग = x² + y² = 468 m² है या x² + y² = 468 (1)
तथा दोनों का परिमापों का अंतर 4x – 4y = 24 है या x – y = 6 (2)
समीकरण 2 से x = 6 + y को समीकरण 1 में रखने पर
(6 + y)² + y² = 468
या 36 + 2y² + 12y = 468
या y² + 6y – 216 = 0
इसको लिख सकते हैं (y + 3)² = 225
इसलिए, y + 3 = +15 या – 15

अतः y = 12, -18
वर्ग की भुजा का परिमाप ऋणात्मक नहीं हो सकता है अतः y = 12 है।
y का मान समीकरण 2 में रखने पर x = 18 है।

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