एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 4.3
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.3 द्विघात समीकरण के हल हिंदी मीडियम में सीबीएसई सत्र 2024-25 के लिए छात्र यहाँ से प्राप्त किए जा सकते हैं। कक्षा 10 गणित अभ्यास 4.3 के हल पीडीएफ तथा विडियो दोनों में ही उपलब्ध हैं। विद्यार्थी अपनी सुविधानुसार इसका मुफ्त में प्रयोग कर सकते हैं। तिवारी अकादमी पर उपलब्ध पठन सामग्री के लिए किसी भी पंजीकरण की कोई आवश्यकता नहीं है।
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.3
कक्षा 10 गणित अध्याय 4 प्रश्नावली 4.3 के लिए एनसीईआरटी समाधान
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति
पिछले अनुच्छेद में, आपने देखा है कि समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल
X = (-b±√(b²-4ac))/2a द्वारा निर्धारित होते हैं।
यदि, b² – 4ac > 0 है तो दो भिन्न और वास्तविक मूल होंगे। X = (-b+√(b²-4ac))/2a , X = (-b-√(b²-4ac))/2a
यदि, b² – 4ac = 0 है तो दो बराबर और वास्तविक मूल होंगे।
यदि, b² – 4ac < 0 है तो ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है, जिसका वर्ग b² – 4ac हो। अतः दिए हुए द्विघात समीकरण के इस स्थिति में कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
क्योंकि b² – 4ac यह निश्चित करता है कि द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल वास्तविक हैं अथवा नहीं, b² – 4ac को इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर कहते हैं।
अतः, द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के
- (i) दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं, यदि b² – 4ac > 0 हो
- (ii) दो बराबर वास्तविक मूल होते हैं, यदि b² – 4ac = 0 हो
- (iii) कोई वास्तविक मूल नहीं होता, यदि b² – 4ac < 0 हो
मूलों की प्रकृति पर आधारित उदाहरण
द्विघात समीकरण 2x² – 4x + 3 = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया समीकरण ax² + bx + c = 0 के प्रकार का है, जहाँ a = 2, b = – 4 और c = 3 है।
इसलिए, विविक्तकार b² – 4ac = (-4)² – 4(2)(3) = 16 – 24 = – 8 < 0 है।
अतः दिए गए समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं।
प्रश्नावली 4.3 पर आधारित अतिरिक्त प्रश्न
क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रें की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल:
उपरोक्त प्रश्न की संभावना को ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम हम मान लेते हैं कि यदि एक की वर्तमान आयु x वर्ष है तो उस स्थिति में दूसरे की आयु (20 – x) वर्ष होगी।
चार वर्ष पूर्व दोनों की आयु का गुणनफल (x – 4) × (20 – x – 4) = 48
या (x -4) × (16 – x) = 48
या 16x – 64 + 4x – x² = 48
सरल करने पर 20x – x² – 112 = 0
इसको लिख सकते हैं x² – 20x + 112 = 0
यह एक द्विघात समीकरण है इसका विविक्तकर ज्ञात करते हैं।
b² – 4ac = (- 20)² – 4(1)(112) = 400 – 448 = – 48 < 0 है।
अतः दिए गए समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं।
इसलिए प्रश्न में व्यक्त कि गई स्थिति संभव नहीं है।
स्मरणीय तथ्य
1. द्विघाती सूत्रः द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल X = (-b±√(b²-4ac))/2a के द्वारा निर्धारित होते हैं।
यदि b² – 4ac ≥ 0 हो।
2. एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 में,
- दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं, यदि b² – 4ac > 0 हो।
- दो बराबर मूल (अर्थात् संपाती वास्तविक मूल) होते हैं, यदि b² – 4ac = 0 हो और
- कोई वास्तविक मूल नहीं होते हैं, यदि b² – 4ac < 0 हो।
