एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 1 अध्याय 7 समानुपातिक तर्कण-1
समानुपातिक तर्कण-1 के प्रश्न उत्तर: अनुपात, समानुपात और त्रैराशिका (कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 1, अध्याय 7, हिंदी माध्यम) के हल सत्र 2026-27 के लिए यहाँ दिए गए हैं। इस पाठ में कोई राशि तय अनुपात में बाँटना, लाभांश का बँटवारा और एकड़, हेक्टेयर व फारेनहाइट जैसे इकाई रूपांतरण हैं।
एनसीईआरटी कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 1 अध्याय 7 समाधान
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 1 अध्याय 7 के एनसीईआरटी समाधान की शुरुआत इस सवाल से होती है: बाघ के पाँच डिजिटल चित्रों में से तीन एक जैसे और दो विकृत क्यों दिखते हैं? क्योंकि केवल उन तीन की चौड़ाई और ऊँचाई एक ही गुणक से बदली है। यहीं से अनुपात, म.स.प. से सरलतम रूप और समानुपात का चिह्न :: आते हैं। फिर नींबू पानी, फिल्टर कॉफी, मध्याह्न भोजन का चावल और हिमाचल व मेघालय की चाय के दाम जैसे प्रश्न वज्र गुणन और आर्यभट के ‘तीन के नियम’ से हल होते हैं।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 1 के पेज 165 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 165 – आइए, पता लगाएँ
1. निम्नलिखित समानुपात के सही कथनों पर गोला बनाइए।
(i) 4 : 7 :: 12 : 21
(ii) 8 : 3 :: 24 : 6
(iii) 7 : 12 :: 12 : 7
(iv) 21 : 6 :: 35 : 10
(v) 12 : 18 :: 28 : 12
(vi) 24 : 8 :: 9 : 3
उत्तर:
सही कथन (i), (iv) और (vi) हैं।
(i) 12 : 21 = 4 : 7। इसलिए यह सही है।
(ii) 24 : 6 = 4 : 1, जो 8 : 3 के बराबर नहीं है।
(iii) 7 : 12 और 12 : 7 बराबर नहीं हैं। अनुपात के पदों का क्रम बदलने से अनुपात बदल जाता है।
(iv) 21 : 6 = 7 : 2 और 35 : 10 = 7 : 2। इसलिए यह सही है।
(v) 12 : 18 = 2 : 3 और 28 : 12 = 7 : 3। ये बराबर नहीं हैं।
(vi) 24 : 8 = 3 : 1 और 9 : 3 = 3 : 1। इसलिए यह सही है।
2. 4 : 9 के समानुपाती 3 अनुपात लिखिए।
______ : ______ ______ : ______ ______ : ______
उत्तर:
4 : 9 के दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा करने पर समानुपाती अनुपात मिलते हैं।
2 से गुणा करने पर: 8 : 18
3 से गुणा करने पर: 12 : 27
4 से गुणा करने पर: 16 : 36
अतः तीन अनुपात 8 : 18, 12 : 27 और 16 : 36 हैं।
3. दिए गए अनुपातों की लुप्त संख्याएँ लिखिए जो 18 : 24 के समानुपाती हैं।
3 : _______ 12 : _____ 20 : ________ 27 : _______
उत्तर:
18 : 24 = 3 : 4।
इसलिए पहले पद का 4/3 गुना दूसरा पद होगा।
पहला पद 3 होने पर दूसरा पद = 3 × 4/3 = 4।
पहला पद 12 होने पर दूसरा पद = 12 × 4/3 = 16।
पहला पद 20 होने पर दूसरा पद = 20 × 4/3 = 80/3।
पहला पद 27 होने पर दूसरा पद = 27 × 4/3 = 36।
अतः पूरे अनुपात हैं: 3 : 4, 12 : 16, 20 : (80/3) और 27 : 36।
4. दिए गए आयतों को देखिए। कौन-से आयत एक-दूसरे के समान हैं? आप एक पैमाने का उपयोग करके चौड़ाई और ऊँचाई को मापकर और उनके अनुपातों की तुलना करके इसे सत्यापित कर सकते हैं।
उत्तर:
कुछ आयत घुमाकर बनाए गए हैं। इसलिए तुलना के लिए प्रत्येक आयत की लंबी भुजा और छोटी भुजा का अनुपात लेते हैं।
आयत ‘क’ और ‘घ’ में लंबी भुजा : छोटी भुजा लगभग 3 : 1 है। अतः ये दोनों समान हैं।
आयत ‘ग’ और ‘ङ’ में लंबी भुजा : छोटी भुजा लगभग 5 : 2 है। अतः ये दोनों समान हैं।
आयत ‘ख’ में यह अनुपात लगभग 3 : 2 है। इसलिए वह अन्य किसी आयत के समान नहीं है।
किसी आयत को घुमाने से उसकी भुजाओं का अनुपात नहीं बदलता।
5. नीचे दिए गए आयत को देखिए। क्या आप अपनी अभ्यास पुस्तिका में समान चौड़ाई और ऊँचाई के अनुपात वाला एक छोटा आयत और एक बड़ा आयत बना सकते हैं? अपने आयतों की तुलना अपने सहपाठियों के चित्रों से कीजिए। क्या ये सभी समान हैं? यदि ये आपके चित्रों से भिन्न हैं तो आपके अनुसार ऐसा क्यों हैं? क्या वे त्रुटिपूर्ण हैं?
उत्तर:
आयत की चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 5 : 3 है।
मैंने 2.5 सेमी चौड़ाई और 1.5 सेमी ऊँचाई का एक छोटा आयत तथा 5 सेमी चौड़ाई और 3 सेमी ऊँचाई का एक बड़ा आयत बनाया।
छोटे आयत का अनुपात = 2.5 : 1.5 = 5 : 3।
बड़े आयत का अनुपात = 5 : 3।
चित्र में A छोटा आयत और B बड़ा आयत है।
मेरे सहपाठियों ने अलग-अलग आकार के आयत बनाए। जिन आयतों की चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 5 : 3 है, वे सभी समान हैं। केवल आकार या दिशा अलग होने से आयत त्रुटिपूर्ण नहीं होता। यदि किसी आयत का अनुपात 5 : 3 नहीं है, तो वह इस प्रश्न के अनुसार सही नहीं है।
6. नीचे दी गई आकृति रंगीन ईंटों से बने प्रतिरूप वाली एक लंबी ईंट की दीवार के एक छोटे भाग को दर्शाती है। दीवार के प्रत्येक भाग में यह प्रतिरूप निरंतर बना रहता है। आप बताइए कि भूरी ईंटों और रंगीन ईंटों का अनुपात क्या है? इस अनुपात को सरलतम रूप में लाने का प्रयास कीजिए।
उत्तर:
दीवार की लंबाई में दोहराए जाने वाले एक पूरे भाग की ईंटें गिनते हैं।
(क) तीन पंक्तियों में प्रत्येक के पाँच-पाँच ईंटों वाले दोहराव को लेते हैं। ऊपर, बीच और नीचे की पंक्ति में क्रमशः 3, 2 और 1 लाल ईंटें हैं।
लाल ईंटें = 3 + 2 + 1 = 6।
कुल ईंटें = 3 × 5 = 15।
भूरी ईंटें = 15 − 6 = 9।
अतः भूरी ईंटें : लाल ईंटें = 9 : 6 = 3 : 2।
(ख) सात पंक्तियों में प्रत्येक के चार-चार ईंटों वाले दोहराव को लेते हैं। ऊपर से नीचे तक रंगीन ईंटों की संख्या क्रमशः 1, 2, 2, 2, 2, 2 और 1 है।
रंगीन ईंटें = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 12।
कुल ईंटें = 7 × 4 = 28।
भूरी ईंटें = 28 − 12 = 16।
अतः भूरी ईंटें : रंगीन ईंटें = 16 : 12 = 4 : 3।
7. आइए, कुछ मानव आकृतियाँ चित्रित करते हैं। आप अपने मित्र के शरीर की लंबाई मापिए, जैसे— उनके सिर, भुजाओं और पैरों की लंबाई। नीचे दिए गए अनुपातों को लिखिए।
उपर्युक्त अनुपात के अनुसार सिर, धड़, भुजाओं और पैरों के साथ एक आकृति बनाइए।
क्या अनुपात समानुपातिक होने पर चित्र अधिक वास्तविक प्रतीत होता है क्यों? क्यों नहीं?
उत्तर:
मैंने अपने मित्र के सिर की लंबाई 20 सेमी, धड़ की लंबाई 50 सेमी, भुजा की लंबाई 60 सेमी और पैर की लंबाई 80 सेमी मापी।
सिर : धड़ = 20 : 50 = 2 : 5।
धड़ : भुजा = 50 : 60 = 5 : 6।
धड़ : पैर = 50 : 80 = 5 : 8।
आकृति बनाने के लिए मैंने सभी लंबाइयाँ दसवाँ भाग कर दीं। इसलिए चित्र में सिर की लंबाई 2 सेमी, धड़ की 5 सेमी, भुजा की 6 सेमी और पैर की 8 सेमी रखी।
चित्र में H सिर, T धड़, A भुजा और L पैर को दर्शाते हैं।
हाँ, समानुपाती माप रखने पर आकृति अधिक वास्तविक दिखाई देती है, क्योंकि शरीर के सभी भाग एक ही गणक से छोटे किए गए हैं। यदि सिर बहुत बड़ा या पैर बहुत छोटे बना दें, तो आकृति का अनुपात बदल जाता है और वह अस्वाभाविक दिखाई देती है।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 1 के पेज 170 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 170 – आइए, पता लगाएँ
1. पृथ्वी 1 वर्ष में सूर्य के चारों ओर लगभग 940 मिलियन किलोमीटर की दूरी तय करती है। वह एक सप्ताह में कितने किलोमीटर की दूरी तय करेगी?
उत्तर:
365 दिनों का एक वर्ष लेते हैं।
1 सप्ताह = 7 दिन
1 मिलियन = 10,00,000
940 मिलियन किलोमीटर = 94,00,00,000 किलोमीटर
365 दिनों में तय की गई दूरी = 94,00,00,000 किलोमीटर
1 दिन में तय की गई औसत दूरी = 94,00,00,000/365 किलोमीटर
7 दिनों में तय की गई औसत दूरी = (94,00,00,000 × 7)/365 किलोमीटर
= 6,58,00,00,000/365 किलोमीटर
≈ 1,80,27,397 किलोमीटर
अतः पृथ्वी एक सप्ताह में औसतन लगभग 1,80,27,397 किलोमीटर की दूरी तय करेगी।
2. एक राजमिस्त्री चित्र में दर्शाए गए आकार में एक घर बना रहा है। उसे ऐसी बाहरी और भीतरी दीवारों का निर्माण करना है, जो दो कक्षों को पृथक करती हैं। उसे एक 10 फुट की दीवार बनाने के लिए लगभग 1450 ईंटों की आवश्यकता है। बताइए कि उसे घर बनाने के लिए कुल कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी? माना कि सभी दीवारें समान ऊँचाई और मोटाई की हैं।
उत्तर:
बाएँ आयताकार भाग की लंबाई और चौड़ाई 12 फुट तथा 9 फुट हैं।
उसका परिमाप = 2 × (12 + 9) = 42 फुट
ऊपर दाएँ आयताकार भाग की लंबाई और चौड़ाई 15 फुट तथा 12 फुट हैं।
उसका परिमाप = 2 × (15 + 12) = 54 फुट
नीचे के आयताकार भाग की लंबाई और चौड़ाई 9 फुट तथा 6 फुट हैं।
उसका परिमाप = 2 × (9 + 6) = 30 फुट
तीनों परिमापों का योग = 42 + 54 + 30 = 126 फुट
इस योग में 12 फुट और 6 फुट की साझा भीतरी दीवारें दो-दो बार गिनी गई हैं। प्रत्येक दीवार केवल एक बार बनानी है।
दीवारों की कुल लंबाई = 126 − 12 − 6 = 108 फुट
10 फुट लंबी दीवार के लिए लगभग 1450 ईंटें चाहिए।
1 फुट लंबी दीवार के लिए ईंटें = 1450 ÷ 10 = 145
108 फुट लंबी दीवार के लिए ईंटें = 145 × 108 = 15,660
अतः घर की बाहरी और भीतरी दीवारें बनाने के लिए लगभग 15,660 ईंटों की आवश्यकता होगी।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 1 के पेज 175 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 175 – आइए, पता लगाएँ
1. ₹ 4,500 को 2 : 3 के अनुपात में दो भागों में विभाजित कीजिए।
उत्तर:
कुल भाग = 2 + 3 = 5
एक भाग का मूल्य = ₹ 4,500 ÷ 5 = ₹ 900
पहला भाग = 2 × ₹ 900 = ₹ 1,800
दूसरा भाग = 3 × ₹ 900 = ₹ 2,700
अतः दोनों भाग ₹ 1,800 और ₹ 2,700 हैं।
जाँच: ₹ 1,800 + ₹ 2,700 = ₹ 4,500 तथा 1800 : 2700 = 2 : 3।
2. एक विज्ञान की प्रयोगशाला में अम्ल और जल को 1 : 5 की मात्रा में मिलाकर एक विलयन तैयार किया जाता है। 240 मिलीलीटर विलयन वाले एक पात्र में अम्ल और जल की कितनी मात्रा होगी?
उत्तर:
अम्ल और जल का अनुपात = 1 : 5
कुल भाग = 1 + 5 = 6
एक भाग की मात्रा = 240 ÷ 6 = 40 मिलीलीटर
अम्ल की मात्रा = 1 × 40 = 40 मिलीलीटर
जल की मात्रा = 5 × 40 = 200 मिलीलीटर
अतः पात्र में 40 मिलीलीटर अम्ल और 200 मिलीलीटर जल होगा।
3. हरा रंग बनाने के लिए नीले और पीले रंग का 3 : 5 के अनुपात में एक मिश्रण तैयार किया गया है। 40 मिलीलीटर हरा रंग बनाने के लिए दोनों रंगों की कितनी मात्रा की आवश्यकता होगी? हरे रंग को कुछ हल्का बनाने के लिए मैंने मिश्रण में 20 मिलीलीटर पीला रंग मिलाया। बताइए कि इस रंग में नीले और पीले रंग का नया अनुपात क्या है?
उत्तर:
नीले और पीले रंग का अनुपात = 3 : 5
कुल भाग = 3 + 5 = 8
एक भाग की मात्रा = 40 ÷ 8 = 5 मिलीलीटर
नीले रंग की मात्रा = 3 × 5 = 15 मिलीलीटर
पीले रंग की मात्रा = 5 × 5 = 25 मिलीलीटर
अतः 40 मिलीलीटर हरा रंग बनाने के लिए 15 मिलीलीटर नीला रंग और 25 मिलीलीटर पीला रंग चाहिए।
20 मिलीलीटर पीला रंग और मिलाने पर:
नीले रंग की मात्रा = 15 मिलीलीटर
पीले रंग की नई मात्रा = 25 + 20 = 45 मिलीलीटर
नया अनुपात = 15 : 45
= (15 ÷ 15) : (45 ÷ 15)
= 1 : 3
अतः नीले और पीले रंग का नया अनुपात 1 : 3 है।
4. नरम इडली बनाने के लिए आपको चावल और उड़द दाल को 2 : 1 में मिलाना होगा। यदि आपको कल सुबह इडली बनाने के लिए इस मिश्रण के 6 कप चाहिए तो आपको कितने कप चावल और उड़द दाल की आवश्यकता होगी?
उत्तर:
चावल और उड़द दाल का अनुपात = 2 : 1
कुल भाग = 2 + 1 = 3
एक भाग की मात्रा = 6 ÷ 3 = 2 कप
चावल की मात्रा = 2 × 2 = 4 कप
उड़द दाल की मात्रा = 1 × 2 = 2 कप
अतः मुझे 4 कप चावल और 2 कप उड़द दाल की आवश्यकता होगी।
5. मेरे पास एक नारंगी रंगलेप (पेंट) से भरी हुई बाल्टी है। इस रंगलेप को 3 : 5 की मात्रा से लाल और पीले रंग को मिलाकर बनाया गया है। मैंने इस मिश्रण में पीले रंगलेप की एक और बाल्टी मिला दी। इस मिश्रण में लाल रंगलेप और पीले रंगलेप की मात्रा का नया अनुपात क्या होगा?
उत्तर:
दोनों बाल्टियों की क्षमता समान लेते हैं।
पहली बाल्टी में लाल और पीले रंगलेप का अनुपात 3 : 5 है।
कुल भाग = 3 + 5 = 8
इसलिए पहली पूरी बाल्टी की मात्रा 8 बराबर भागों के समान है। इसमें लाल रंगलेप 3 भाग और पीला रंगलेप 5 भाग है।
एक और पूरी बाल्टी पीला रंगलेप मिलाने से पीले रंगलेप के 8 भाग और बढ़ेंगे।
लाल रंगलेप की नई मात्रा = 3 भाग
पीले रंगलेप की नई मात्रा = 5 + 8 = 13 भाग
अतः लाल रंगलेप और पीले रंगलेप का नया अनुपात 3 : 13 होगा।
कक्षा 8 गणित प्रकाश भाग 1 के पेज 176 पर दिए गए प्रश्नों के उत्तर:
पेज 176 – आइए, पता लगाएँ
1. अनघ 600 मिलीलीटर संतरे के रस को 900 मिलीलीटर सेब के रस के साथ मिलाकर फलों का रस तैयार करता है। संतरे के रस और सेब के रस का अनुपात सरलतम रूप में लिखिए।
उत्तर:
संतरे के रस और सेब के रस का अनुपात = 600 : 900
600 और 900 का महत्तम समापवर्तक 300 है।
दोनों पदों को 300 से भाग देने पर,
600 : 900 = (600 ÷ 300) : (900 ÷ 300)
= 2 : 3
अतः सरलतम अनुपात 2 : 3 है।
2. विगत वर्ष हमने शैक्षिक भ्रमण हेतु 3 बसें किराए पर ली थी। उस भ्रमण पर कुल 162 विद्यार्थी और शिक्षक थे। बसों की सभी सीटें भरी हुई थी। इस वर्ष हमारे पास विद्यार्थियों की संख्या 204 हैं। हमें कितनी बसों की आवश्यकता होगी? क्या सभी बसें भरी होंगी?
उत्तर:
एक बस में सीटों की संख्या = 162 ÷ 3 = 54
3 बसों में 54 × 3 = 162 सीटें होंगी। ये 204 विद्यार्थियों के लिए पर्याप्त नहीं हैं।
4 बसों में सीटों की संख्या = 54 × 4 = 216
अतः 204 विद्यार्थियों के लिए 4 बसों की आवश्यकता होगी।
केवल विद्यार्थियों के बैठने पर खाली सीटें = 216 − 204 = 12
इसलिए केवल विद्यार्थियों से सभी बसें नहीं भरेंगी।
इन 4 बसों में विद्यार्थियों के साथ अधिकतम 12 शिक्षक भी बैठ सकते हैं। 12 शिक्षक होने पर सभी सीटें भर जाएँगी। शिक्षकों की संख्या नहीं दी गई है, इसलिए उनके सहित सभी सीटें भरेंगी या नहीं, निश्चित रूप से नहीं कह सकते।
3. दिल्ली का क्षेत्रफल 1484 वर्ग किलोमीटर और मुंबई का क्षेत्रफल 550 वर्ग किलोमीटर है। दिल्ली की जनसंख्या लगभग 3 करोड़ और मुंबई की 2 करोड़ है। कौन-सा शहर अधिक जनसंख्या वाला है? यह आपने कैसे ज्ञात किया?
उत्तर:
कुल जनसंख्या की दृष्टि से दिल्ली अधिक जनसंख्या वाला शहर है, क्योंकि 3 करोड़, 2 करोड़ से अधिक है।
एक समान क्षेत्रफल में रहने वाले लोगों की तुलना करने के लिए प्रति वर्ग किलोमीटर जनसंख्या निकालते हैं।
दिल्ली में प्रति वर्ग किलोमीटर जनसंख्या
= 3,00,00,000 ÷ 1484
≈ 20,216 व्यक्ति
मुंबई में प्रति वर्ग किलोमीटर जनसंख्या
= 2,00,00,000 ÷ 550
≈ 36,364 व्यक्ति
36,364 > 20,216 है। अतः मुंबई में प्रति वर्ग किलोमीटर अधिक लोग रहते हैं। इसलिए कुल जनसंख्या दिल्ली में अधिक है, लेकिन जनसंख्या घनत्व मुंबई में अधिक है।
4. 155 सेंटीमीटर ऊँचाई वाले एक सारस की गर्दन और शेष शरीर का अनुपात 4 : 6 है। आपकी ऊँचाई के लिए यदि आपकी गर्दन और शेष शरीर का अनुपात भी यही हो तो आपकी गर्दन कितनी लंबी होगी?
उत्तर:
मेरी ऊँचाई 150 सेंटीमीटर है।
गर्दन और शेष शरीर का अनुपात = 4 : 6
कुल भाग = 4 + 6 = 10
एक भाग की लंबाई = 150 ÷ 10 = 15 सेंटीमीटर
गर्दन की लंबाई = 4 × 15 = 60 सेंटीमीटर
अतः यदि मेरी गर्दन और शेष शरीर का अनुपात 4 : 6 होता, तो मेरी गर्दन 60 सेंटीमीटर लंबी होती। शेष शरीर की लंबाई 6 × 15 = 90 सेंटीमीटर होती।
जाँच: 60 + 90 = 150 और 60 : 90 = 4 : 6।
5. आइए, लीलावती ग्रंथ की एक प्राचीन समस्या हल करें। प्राचीन समय में भार को पलास नामक इकाई में मापा जाता था और मुद्रा की इकाई निष्कस होती थी। “यदि 2½ पलास केसर का मूल्य 3/7 निष्कस हो तो अरे विद्वान व्यापारी! मुझे शीघ्रता से बताइए कि 9 निष्कस में केसर की कितनी मात्रा का विक्रय किया जा सकता है?”
उत्तर:
3/7 निष्कस में केसर की मात्रा = 2½ पलास = 5/2 पलास
1 निष्कस में केसर की मात्रा
= (5/2) ÷ (3/7)
= (5/2) × (7/3)
= 35/6 पलास
9 निष्कस में केसर की मात्रा
= (35/6) × 9
= 105/2 पलास
= 52½ पलास
अतः 9 निष्कस में 52½ पलास केसर का विक्रय किया जा सकता है।
6. हरमन एक बालिका है और उसकी आयु 1 वर्ष है। हरमन के बड़े भाई की आयु 5 वर्ष है। बताइए कि जब हरमन और उसके भाई की आयु का अनुपात 1 : 2 हो तब हरमन की आयु क्या होगी?
उत्तर:
हरमन और उसके भाई की आयु में अंतर = 5 − 1 = 4 वर्ष
दोनों की आयु में यह अंतर हमेशा 4 वर्ष रहेगा।
अनुपात 1 : 2 में दोनों आयु का अंतर = 2 − 1 = 1 भाग
इसलिए 1 भाग = 4 वर्ष
हरमन की आयु = 1 × 4 = 4 वर्ष
उसके भाई की आयु = 2 × 4 = 8 वर्ष
जाँच: 4 : 8 = 1 : 2 और 8 − 4 = 4 वर्ष।
अतः हरमन की आयु 4 वर्ष होगी। ऐसा 3 वर्ष बाद होगा।
7. सोने और पानी के समान आयतन का द्रव्यमान 37 : 2 के अनुपात में है। यदि 1 लीटर पानी का द्रव्यमान 1 किलोग्राम है तो 1 लीटर सोने का द्रव्यमान कितना होगा?
उत्तर:
समान आयतन के सोने और पानी के द्रव्यमान का अनुपात = 37 : 2
पानी के 2 भागों का द्रव्यमान = 1 किलोग्राम
इसलिए 1 भाग का द्रव्यमान = 1/2 किलोग्राम
सोने के 37 भागों का द्रव्यमान = 37 × 1/2 = 18.5 किलोग्राम
अतः 1 लीटर सोने का द्रव्यमान 18.5 किलोग्राम होगा।
8. एक एकड़ भूमि के लिए 10 टन गोबर की खाद का उपयोग करना एक अच्छी कृषि पद्धति मानी जाती है। एक कृषक 200 फुट लंबाई × 500 फुट चौड़ाई के आकार के एक भूखंड में टमाटर उगाने की योजना बना रहा है। उसे गोबर खाद की कितनी मात्रा आवश्यक होगी? (कृपया इस अध्याय के पूर्व खंड में वर्णित इकाई रूपांतरण वाले भाग को देखिए)।
उत्तर:
भूखंड का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
= 200 × 500
= 1,00,000 वर्गफुट
1 एकड़ = 43,560 वर्गफुट
43,560 वर्गफुट के लिए 10 टन खाद चाहिए।
इसलिए 1,00,000 वर्गफुट के लिए खाद की मात्रा
= (1,00,000 × 10)/43,560
= 25,000/1089 टन
≈ 22.96 टन
अतः कृषक को लगभग 22.96 टन गोबर की खाद की आवश्यकता होगी।
9. एक नल एक मग पानी भरने में 15 सेकंड का समय लेता है। मग का आयतन 500 मिलीलीटर है। यदि बाल्टी की क्षमता 10 लीटर है तो वही नल एक बाल्टी पानी भरने में कितना समय लेगा?
उत्तर:
बाल्टी की क्षमता = 10 लीटर = 10,000 मिलीलीटर
बाल्टी में भरे जा सकने वाले मगों की संख्या = 10,000 ÷ 500 = 20
एक मग भरने का समय = 15 सेकंड
20 मग भरने का समय = 20 × 15 = 300 सेकंड
300 सेकंड = 300 ÷ 60 = 5 मिनट
अतः नल से पानी समान गति से बहने पर बाल्टी भरने में 5 मिनट लगेंगे।
10. एक एकड़ भूमि का मूल्य ₹ 15,00,000 है। बताइए कि उसी भूमि के 2400 वर्गफुट भूखंड का मूल्य क्या होगा?
उत्तर:
1 एकड़ = 43,560 वर्गफुट
43,560 वर्गफुट भूमि का मूल्य = ₹ 15,00,000
2400 वर्गफुट भूमि का मूल्य
= ₹ (15,00,000 × 2400)/43,560
= ₹ 1,00,00,000/121
≈ ₹ 82,644.63
अतः 2400 वर्गफुट भूखंड का मूल्य लगभग ₹ 82,644.63 होगा।
11. एक खेत को एक ट्रैक्टर 1 जोड़ी बैलों की अपेक्षा तीव्र गति से जोत सकता है। एक कृषक अपने 20 एकड़ खेत की जुताई करना चाहता है। बैलों की एक जोड़ी को एक एकड़ जमीन जोतने में 6 घंटे का समय लगता है। यदि किसान बैलों की जोड़ी से खेत जोतता है तो बताइए कि उसे कितना समय लगेगा?
उत्तर:
1 एकड़ खेत जोतने का समय = 6 घंटे
20 एकड़ खेत जोतने का समय = 20 × 6 = 120 घंटे
अतः बैलों की एक जोड़ी से पूरा खेत जोतने में कुल 120 घंटे काम करना होगा।
12. ₹ 10 का सिक्का ताँबे और निकेल की एक मिश्रधातु ‘क्यूप्रो-निकेल’ से निर्मित है। इस मिश्रधातु को ताँबे और निकेल की 3 : 1 की मात्रा से मिलाकर प्राप्त किया जाता है। सिक्के का द्रव्यमान 7.74 ग्राम है। यदि ताँबे का मूल्य ₹ 906 प्रति किलोग्राम तथा निकेल का मूल्य ₹ 1341 प्रति किलोग्राम है तो ₹ 10 के सिक्के में इन धातुओं का मूल्य क्या होगा?
उत्तर:
ताँबे और निकेल का अनुपात = 3 : 1
कुल भाग = 3 + 1 = 4
ताँबे का द्रव्यमान = (3/4) × 7.74 = 5.805 ग्राम
निकेल का द्रव्यमान = (1/4) × 7.74 = 1.935 ग्राम
1 किलोग्राम = 1000 ग्राम
ताँबे का द्रव्यमान = 5.805/1000 = 0.005805 किलोग्राम
निकेल का द्रव्यमान = 1.935/1000 = 0.001935 किलोग्राम
ताँबे का मूल्य = 0.005805 × 906 = ₹ 5.25933
निकेल का मूल्य = 0.001935 × 1341 = ₹ 2.594835
दोनों धातुओं का कुल मूल्य
= ₹ (5.25933 + 2.594835)
= ₹ 7.854165
≈ ₹ 7.85
अतः सिक्के में ताँबे और निकेल का कुल मूल्य लगभग ₹ 7.85 है।
तीन का नियम कब लगता है और कब नहीं
तीन का नियम लगाने से पहले दो जाँच कीजिए। पहली, इकाइयाँ एक जैसी हों: 150 मिनट में 90 किलोमीटर वाली कार के प्रश्न में 4 घंटे को 240 मिनट लिखने पर ही सही उत्तर, 144 किलोमीटर, मिलता है। दूसरी, एक राशि बढ़ने पर दूसरी भी उसी गुणक से बढ़े; पुनीत के पिताजी की गति 50 से 75 किलोमीटर प्रति घंटा होने पर समय घटता है, इसलिए वहाँ यह नियम नहीं लगता और ऐसे उलटे संबंध भाग 2 के ‘समानुपातिक तर्कण-2’ में हैं। दोनों पदों में एक ही संख्या जोड़ने से भी अनुपात बदलता है: नीलिमा और उसकी माताजी की आयु का 1 : 10 नौ वर्ष बाद 4 : 13 हो जाता है। भाग 2 का पहला अध्याय ‘भिन्न के विविध रूप’ है और दोनों भागों की अध्याय-वार सूची कक्षा 8 गणित के एनसीईआरटी समाधान पर उपलब्ध है।
