एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 9 प्रश्नावली 9.3

एक प्रथम-क्रम, प्रथम-डिग्री अवकल समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें प्रथम कोटि का उच्चतम अवकलज और प्रथम घात के चर होते हैं। इस तरह के अंतर समीकरणों को विभिन्न तरीकों का उपयोग करके हल किया जाता है, जिनमें निम्न शामिल हैं:
चर का पृथक्करण: इस पद्धति में समीकरण के विपरीत पक्षों पर चर को अलग करना शामिल है, जिससे दोनों पक्षों के एकीकरण को सक्षम किया जा सके।

इस प्रक्रिया के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत कारक के रूप में जाना जाने वाला फलन द्वारा गुणा करने की आवश्यकता होती है, जो बाईं ओर को एकीकृत कारक के उत्पाद और समाधान के व्युत्पन्न में बदल देती है।
सटीक विभेदक समीकरण: इस पद्धति में सटीक अंतर समीकरण का निर्धारण करना शामिल है, जो कि F(x,y)dx + G(x,y)dy = 0 के रूप का एक अंतर समीकरण है, जहां F(x,y) और G(x,y) हैं x और y के कार्य, और y के संबंध में F का आंशिक व्युत्पन्न, x के संबंध में G के आंशिक व्युत्पन्न के बराबर है।
प्रतिस्थापन विधि: इस पद्धति में x के एक फलन को अंतर समीकरण में शामिल करना शामिल है, जो कुछ मामलों में इसे हल करना आसान बना सकता है।

कक्षा 12 के लिए एक अवकल समीकरण ये शामिल हो सकते हैं:
» प्रथम-क्रम के साधारण अंतर समीकरणों को हल करने के लिए अन्य तकनीकों का उपयोग करना, जैसे चर पृथक्करण, समाकलन कारक और संख्यात्मक विधियाँ।
» उच्च कोटि के रेखीय अवकल समीकरणों को हल करने के लिए विशिष्ट समीकरण, उपयोगी फलन और विशेष समाकल जैसी विभिन्न तकनीकों का उपयोग करना।

अवकल समीकरणों का अध्ययन करने वाले छात्र उन्हें हल करने में शामिल गणितीय विधियों की मूल बातों को समझते हैं। छात्र समस्या-समाधान तकनीकों के साथ-साथ अंतर समीकरणों का अध्ययन करके समस्या को हल करने और तार्किक रूप से कैसे सीखें। यह इंजीनियरिंग, भौतिकी और अर्थशास्त्र जैसे क्षेत्रों में अन्य गणितीय विचारों में अंतर समीकरणों को समझने में उपयोगी हो सकता है।

भले ही विभेदक समीकरण सीखना मुश्किल हो, लेकिन यह एक उपयोगी स्किल है। विभिन्न परिघटनाओं, जैसे किसी कण की गति या किसी बीमारी का फैलाव, को अवकल समीकरणों का उपयोग करके प्रतिरूपित किया जाता है। आप इन समीकरणों का उपयोग करके वास्तविक दुनिया में होने वाली घटनाओं को समझ और उनका मूल्यांकन कर सकते हैं।