एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 5 प्रश्नावली 5.5

कक्षा 12 गणित की प्रश्नावली 5.5 में हम निम्नलिखित प्रकार के एक विशिष्ट वर्ग के फलनों का अवकलन करना सीखेंगे। इस विधि में ध्यान देने की मुख्य बात यह है कि f(x) तथा u(x) को सदैव धनात्मक होना चाहिए अन्यथा उनके लघुगणक परिभाषित नहीं होंगे। इस प्रक्रिया को लघुगणकीय अवकलन कहते है और जिसे प्रश्नावली से पहले दिए गए उदाहरणों द्वारा स्पष्ट किया गया है।

लघुगणकीय अवकलन एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग किसी फलन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए किया जाता है जिसमें उत्पाद, भागफल या कार्यों की शक्तियां होती हैं जो पारंपरिक तरीकों का उपयोग करके अंतर करना आसान नहीं होता है। इस तकनीक में समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेना और फिर चर के संबंध में समीकरण को अलग करना शामिल है।

लघुगणकीय अवकलन की प्रक्रिया इस प्रकार है:
समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें:
In(y) = In(f(x))
श्रृंखला नियम का प्रयोग करके समीकरण के दोनों पक्षों को x के संबंध में अवकलित करें:
(dy/dx)/dy = (df/df)/f(x)
dy/dx के लिए हल करें:
dy / dx = (df / dx) × dy / f(x)
उदाहरण के लिए, मान लें कि हम y = (x² + 1)³ का अवकलज ज्ञात करना चाहते हैं। हम निम्न प्रकार से लघुगणकीय अवकलन का उपयोग कर सकते हैं:
समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें:
ln(y) = ln((x² + 1)³)
x के संबंध में समीकरण के दोनों पक्षों को अवकलित करें:
(dy/dx)/dy = 3(2x)/(x² + 1)
dy/dx के लिए हल करें:
dy/dx = (3x⁴ + 9x² + 3) / (x² + 1)

अवकलन अपने स्वतंत्र चर के संबंध में किसी फलन के परिवर्तन की दर ज्ञात करने की प्रक्रिया है। पावर रूल और चेन रूल सहित फलन को अलग करने के लिए कई तरीके हैं। लघुगणकीय विभेदीकरण विधि एक स्पष्ट रूप के बजाय एक समीकरण का उपयोग करती है जैसे कि y = f(x)।

एकल बहुपद प्राप्त करने के लिए दो या दो से अधिक कार्यों के उत्पाद का विस्तार करना एक तकनीक है जिसे बहुपद विस्तार या गुणन के रूप में जाना जाता है। इस तकनीक का उपयोग दो या दो से अधिक कार्यों के उत्पाद को सरल बनाने और अंतर या एकीकरण को आसान बनाने के लिए किया जाता है। इस तकनीक का प्रश्नावली करना आवश्यक है क्योंकि यह बीजगणित और कलन में एक आवश्यक अवधारणा है।