एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 5 प्रश्नावली 5.1

एक फलन एक बिंदु पर निरंतर होता है यदि उस बिंदु पर फलन का मान इसकी सीमा के बराबर होता है क्योंकि इनपुट मान उस बिंदु तक पहुंचते हैं। एक फलन प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय हो सकता है लेकिन वहाँ निरंतर नहीं हो सकता है, उदाहरण के लिए f(x) = |x|, हर जगह निरंतर है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फलन |-x| 0 पर सतत नहीं है, लेकिन यह हर जगह अवकलनीय है।

सांतत्य की संकल्पना का अनुमान करने के लिए, हम अनुच्छेद को दो अनौपचारिक उदाहरणों से प्रारम्भ करते हैं। यह फलन वास्तव में वास्तविक रेखा के प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित है। सांतत्य वह गुण है जो एक फलन को एक बिंदु पर परिभाषित करता है और उस बिंदु के भीतर प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है। उदाहरण: f(x) = 1/x, अंतराल (-अनंत, 0) U (0, अनंत) पर निरंतर नहीं है, लेकिन हर जगह निरंतर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि उस अंतराल पर फलन के ग्राफ़ में कोई छलांग, विराम या छिद्र नहीं होते हैं। एक वास्तविक फलन f संतत कहलाता है यदि वह f के प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर संतत है। इस परिभाषा को हम कुछ इस तरह समझेंगे। मान लेते है कि f एक ऐसा फलन है , जो संवृत अंतराल [a, b] में परिभाषित है , तो f के सतंत होने के लिए आवश्यक है कि वह [a, b] के अन्य बिन्दुओं a  तथा b  सहित उसके प्रत्येक बिंदु पर संतत हो।

संतत फलनों का बीजगणित संचालन का समुच्चय है जो संतत फलनों पर किया जा सकता है, जैसे कि जोड़, घटाव, गुणा और भाग। ये संक्रियाएँ वास्तविक संख्याओं पर संबंधित संक्रियाओं के समान नियमों का पालन करती हैं। किसी फलन की निरंतरता भी बीजगणितीय गुणों जैसे वितरण, साहचर्य और अन्य का अनुसरण करती है। उदाहरण के लिए, दो सतत फलन f(x) और g(x) दिए हुए हैं, हम एक नया फलन h(x) = f(x) + g(x) परिभाषित कर सकते हैं जो कि संतत भी है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दो निरंतर कार्यों का योग निरंतर होता है। इसी तरह, हम h(x) = f(x)× g(x) को परिभाषित कर सकते हैं, जो निरंतर भी है, जब तक कि दो निरंतर कार्यों का उत्पाद निरंतर होता है। हालांकि, सभी निरंतर कार्यों के लिए परिभाषित नहीं है, यह केवल कार्यों f(x) और g(x) के लिए परिभाषित है जैसे कि f(x) के डोमेन में सभी x के लिए g(x)≠0.

एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित का प्रश्नावली 5.1 सांतत्य तथा अवकलनीयता की अवधारणाओं से संबंधित है। प्रश्नावली में विभिन्न प्रकार की समस्याएं और प्रश्न शामिल हैं जो छात्रों इन अवधारणाओं को समझने और लागू करने में मदद करते हैं। प्रश्नावली इन अवधारणाओं की परिभाषाओं और गुणों सहित निरंतरता और भिन्नता की अवधारणाओं के संक्षिप्त परिचय के साथ शुरू होता है। इसके बाद यह कई उदाहरण और समस्याएं प्रदान करता है जो बताता है कि यह कैसे निर्धारित किया जाए कि कोई फलन निरंतर या अलग-अलग है, और किसी फलन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें।