एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 3.2

किसी बहुभुज के बाह्य कोणों के मापों का योग 360° होता है।
एक बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग
एक बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात कर सकते हैं:
आंतरिक कोणों का योग = (n – 2) × 180⁰
यहाँ n बहुभुज के भुजाओं की संख्या है।
उपरोक्त सूत्र के माध्यम से अगर बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग दिया हो तो भुजाओं की संख्या आसानी से ज्ञात की जा सकती है।

एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिसके प्रत्येक बाह्य कोण का माप 45° है।
हल:
सभी बाह्य कोणों की कुल माप = 360°
प्रत्येक बाह्य कोण का माप = 45°
इसलिए, बाह्य कोणों की संख्या = 360/45 = 8
अतः बहुभुज की 8 भुजाएँ हैं।

एक बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग 2160⁰ है। बहुभुज की भुजाओं कि संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
आंतरिक कोणों का योग = (n – 2) × 180⁰ = 2160⁰ (दिया है)
अर्थात n – 2 =2160/180 = 12
या n = 12 + 2 = 14
अतः बहुभुज के भुजाओं कि संख्या 14 है।

(a) किसी सम बहुभुज में कम से कम कितने अंश का अंतःकोण संभव है? क्यों?
(b) किसी सम बहुभुज में अधिक से अधिक कितने अंश का बाह्य कोण संभव है?
हल:
(a) समबाहु त्रिभुज तीन भुजाओं का एक सम बहुभुज है जिसका कम से कम अंत:कोण 60° का ही संभव है।
(b) क्योंकि एक सम बहुभुज के एक अंत:कोण का न्यूनतम माप 60° होता है, इसलिए अधिक से अधिक एक बाह्य कोण का सम्भव माप 180° – 60° = 120° है।

एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए यदि इसका प्रत्येक अंतःकोण 165° का हो?
हल:
माना कि इस बहुभुज की n भुजाएँ हैं। तब, इसका
प्रत्येक अंत:कोण = {(n – 2)/n} × 180
अतः {(n – 2)/n} × 180 = 165
या 180n – 360 = 165n (दोनों पक्षों को n से गुणा करने पर)
या 180n – 165n = 360
या 15n = 360
या n = 360/15
= 24
अर्थात् इस बहुभुज की 24 भुजाएँ हैं।