एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 7 विविध प्रश्नावली

(a + b)ⁿ = ⁿC₀aⁿ + ⁿC₁aⁿ⁻¹b + ⁿC₂aⁿ⁻² b² + …+ ⁿCₙ₋₁a.bⁿ⁻¹ + ⁿCₙbⁿ
उपपत्ति:
इस प्रमेय की उपपत्ति गणितीय आगमन सिद्धांत द्वारा प्राप्त की जाती है। मान लीजिए कथन P(n) निम्नलिखित हैः
P(n) = (a + b)ⁿ = ⁿC₀aⁿ + ⁿC₁aⁿ⁻¹b + ⁿC₂aⁿ⁻² b² + …+ ⁿCₙ₋₁a.bⁿ⁻¹ + ⁿCₙbⁿ
n = 1 लेने पर
P(1) = (a + b)¹ = ¹C₀a¹ + ¹C₁b¹ = a + b
अतः P(1) सत्य है।

1. इस प्रमेय को इस प्रकार भी लिख सकते हैं।
(a + b)ⁿ = ⁿC₀aⁿ + ⁿC₁aⁿ⁻¹b + ⁿC₂aⁿ⁻² b² + …+ ⁿCₙ₋₁a.bⁿ⁻¹ + ⁿCₙbⁿ
या
(a + b)ⁿ = ⁿΣ₀ ⁿCᵣaⁿ⁻ ͬ b ͬ
2. द्विपद प्रमेय में आने वाले गुणांक ⁿCᵣ को द्विपद गुणांक कहते हैं।
3. (a + b)ⁿ के प्रसार में पदों की संख्या (n + 1) है अर्थात् घातांक से 1 अधिक है।
4. प्रसार के उत्तरोत्तर पदों में, a की घातें एक के क्रम से घट रही हैं। यह पहले पद में n दूसरे पद में (n – 1) और फिर इसी प्रकार अंतिम पद में शून्य है। ठीक उसी प्रकार b की घातें एक के क्रम से बढ़ रही हैं, पहले पद में शून्य से शुरू होकर, दूसरे पद में 1 और फिर इसी प्रकार अंतिम पद में n पर समाप्त होती हैं।
5. (a + b)ⁿ, के प्रसार में, a तथा b की घातों का योग, पहले पद में n + 0 = n, दूसरे पद में (n – 1) + 1 = n और इसी प्रकार अंतिम पद में 0 + n = n है। अतः यह देखा जा सकता है कि प्रसार के प्रत्येक पद में a तथा b की घातों का योग n है।

(x + n)ⁿ के प्रसार में अंत से r वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल
(x + n)ⁿ के प्रसार में (n + 1) पद हैं। पदों का अवलोकन करते हुए हम कह सकते हैं कि अंत में पहला पद प्रसार का अंतिम पद हैं अर्थात् (n + 1) वाँ पद (n + 1) – (1 – 1) है। अंत से दूसरा पद, प्रसार का n वाँ पद n=(n + 1) – (2 – 1) है। अंत से तीसरा पद, प्रसार का (n -1)वाँ पद है और n – 1 = (n + 1) – (3 – 1) इसी प्रकार, अंत से r वाँ पद, प्रसार का [(n + 1) – (r – 1),वाँ पद अर्थात् (n – r + 2)वाँ पद होगा। और प्रसार का (n – r + 2)वाँ पद ⁿCₙ₋ᵣ₊₁x ͬ ⁻¹aⁿ⁻ ͬ ⁺¹ है।