एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 4.2

द्विघात समीकरण 2x² – 3x + 1 = 0 पर विचार कीजिए। यदि हम इस समीकरण के बाएँ पक्ष में x को 1 से प्रतिस्थापित करें, तो हमें प्राप्त होता हैः (2 × 12) – (3 × 1) + 1 = 0 = समीकरण का दाँया पक्ष। हम कहते हैं कि 1 द्विघात समीकरण 2x² – 3x + 1 = 0 का एक मूल है। इसका यह भी अर्थ है कि 1 द्विघात बहुपद 2x² – 3x + 1 का एक शून्यक है।

व्यापक रूप में, एक वास्तविक संख्या α द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 का एक मूल कहलाता है, यदि aα ² + bα + c = 0 हो। हम यह भी कहते हैं कि x = α द्विघात समीकरण का एक हल है अथवा α द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता है। ध्यान दीजिए कि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक और द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल एक ही हैं।
नोट: अतः, किसी द्विघात समीकरण के अधिक से अधिक दो मूल हो सकते हैं।

मध्य पद को विभक्त करके एक द्विघात बहुपद के गुणनखंड किए जा सकते हैं। हम इस ज्ञान का प्रयोग द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने में करेंगे। एक उदाहरण के माध्यम से इसे समझाने का प्रयास करते हैं:

गुणनखंडन द्वारा समीकरण 2x² – 5x + 3 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

सर्वप्रथम हम मध्यपद -5x को –2x –3x [क्योंकि (–2x) × (–3x) = 6x² = (2×2) × 3] के रूप में विभक्त करते हैं।
अतः 2x² – 5x + 3 = 2x² – 2x – 3x + 3 = 2x (x – 1) –3(x – 1) = (2x – 3)(x – 1)
इसलिए, 2x² – 5x + 3 को (2x – 3)(x – 1) के रूप में पुनः लिखा जा सकता है।
अतः x के वे मान जिनके लिए 2x² – 5x + 3 = 0 वही हैं जो (2x – 3)(x – 1) से प्राप्त होंगे।
अब 2x – 3 = 0 या x = 3/2 और x – 1 = 0 या x = 1 देता है।
अतः x = 3/2 और x = 1 दिए हुए समीकरण के हल हैं।
दुसरे शब्दों में 3/2 और 1 समीकरण 2x² – 5x + 3 के मूल हैं।

ध्यान दीजिए कि हमने समीकरण 2x² – 5x + 3 = 0 के मूलों को 2x² – 5x + 3 के दो रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंडित करके और प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर प्राप्त किए हैं।