एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 4.1

एक द्विघात समीकरण में, एक चर, वर्ग में होता है। इस प्रकार के समीकरण को “घात 2 का समीकरण” भी कहा जाता है। बीजीय व्यंजक ax² + bx + c = 0, (जहाँ a ≠ 0 और a, b, c वास्तविक संख्याएं हों) के रूप में होने वाले समीकरण द्विघात समीकरण कहा जाता है।

किसी भी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0, के अधिकतम 2 मूल हो सकते हैं।
उदाहरण के लिए समीकरण 2x² -3x + 1 = 0 को लेते हैं और इसके मूल ज्ञात करते हैं। समीकरण के गुणनखंड प्राप्त करने के लिए मध्य पद विभाजन के सिद्धांत को अपनाते हैं।
समीकरण 2x² -3x + 1= 0 को इस प्रकार से लिख सकते हैं:
2x² -2x – x + 1 = 0
2x(x – 1) -1(x – 1) = 0
या (x – 1)(2x – 1) = 0
अतः x = 1, ½
इस प्रकार हम कह सकते है कि x = 1, ½ समीकरण 2x² -3x + 1 = 0 के मूल हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित दो विधियों का प्रयोग करते हैं:

• 1. गुणनखंड विधि
• 2. पूर्ण वर्ग विधि

इस विधि में मध्य पद को इस प्रकार से विभाजित करते हैं कि विभाजित भागों का योग मध्य पद के बराबर हो और दोनों पदों का गुणनफल पहली और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर हो।

जब हम एक द्विघात समीकरण जो कि ax² + bx + c के रूप में होता है उसे हम जब a(x + h)² + k के रूप में बदल देते हैं तब इस विधि को पूर्ण वर्ग बनाना कहते हैं।

जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे।

माना आरम्भ में जॉन के पास x कंचे हैं और जीवंती के पास y कंचे हैं।
प्रश्नानुसार दोनों के पास के कंचों का कुल योग 45 है अर्थात्
x + y = 45 (1)
प्रश्न कि दूसरी शर्त के अनुसार दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं तो दोनों के बचे हुए कंचो का गुणनफल 124 है अर्थात्
(x – 5) × (y – 5) = 124 या xy -5(x + y) + 25 = 124, समीकरण 1 से x + y का मान रखने पर
या xy = 324 (2)
समीकरण 1 से y = 45 – x समीकरण 2 में रखने पर
x(45 – x) = 324
या x² -45x + 324 = 0 इस समीकरण को इस प्रका लिख सकते हैं
x² -36x – 9x + 324 = 0
x (x – 36) – 9 (x – 36) = 0

इस प्रकार (x – 36) और (x – 9) दो गुणनखंड प्राप्त होते हैं
इसके अनुसार x = 36, 9
x का मान समीकरण 1 में रखकर y = 9, 36 मिलता है
इस प्रकार मान सकते है कि अगर x का मान 36 है तो y का मान 9 होगा और अगर x का मान 9 है तो y का मान 36 होगा।