एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 8.1

एक चतुर्भुज की चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। चतुर्भुज ABCD में, AB, BC, CD और DA चार भुजाएँ हैं: A, B, C और D चार शीर्ष हैं तथा ∠A, ∠B, ∠C और ∠D शीर्षों पर बने चार कोण हैं।

विकर्ण
अब सम्मुख शीर्षों A और C तथा B और D को जोडि़ए। AC और BD चतुर्भुज ABCD के दो विकर्ण कहलाते हैं।

चतुर्भुज के कोणों का योग 360⁰ होता है। हम इसकी जाँच चतुर्भुज का एक विकर्ण खींच कर उसे दो त्रिभुजों में विभाजित करके कर सकते हैं।
मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है और AC उसका एक विकर्ण ह ∆ADC के कोणों का क्या योग है?
हम जानते हैं कि
∠DAC + ∠ACD + ∠D = 180° (1)
इसी प्रकार ∆ ABC में
∠CAB + ∠ACB + ∠B = 180° (2)
(1) और (2) को जोड़ने पर
∠DAC + ∠ACD + ∠D + ∠CAB + ∠ACB + ∠B = 180° + 180° = 360°
अर्थात् चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है।

आकर के आधार पर चतुर्भुज विभिन्न प्रकार के होते हैं:

• (i) वर्ग चार भुजाओं से घिरी वह आकृति जिसकी चारो भुजाएँ बराबर हों तथा प्रत्येक कोण समकोण अर्थात 90° का हो, उसे वर्ग कहते हैं।
• (ii) आयत
• (iii) समचतुर्भुज
• (iv) समान्तर चतुर्भुज
• (v) विषमकोण समचतुर्भुज
• (vi) समलम्ब चतुर्भुज
• (vii) चक्रीय चतुर्भुज
• (viii) पतंगाकार चतुर्भुज

वर्ग
वर्ग चार भुजाओं से घिरी वह आकृति जिसकी चारो भुजाएँ बराबर हों तथा प्रत्येक कोण समकोण अर्थात 90° का हो, उसे वर्ग कहते हैं।
आयत
ऐसा चतुर्भुज जिसके चारों अन्तःकोण समकोण (= 90° के) हों उसे आयत कहते हैं। आयत एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी आमने सामने की भुजाएं समांतर और बराबर होती है, “आयत” कहलाता है।

समचतुर्भुज
वह समांतर चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों।
समान्तर चतुर्भुज
जिस चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ समांतर तथा समान होती है उसे समान्तर चतुर्भुज कहते हैं।
विषमकोण समचतुर्भुज
वह समान्तर चतुर्भुज, जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं, किन्तु कोई कोण समकोण अर्थात् 90º का नहीं होता है, विषमकोण समचतुर्भुज कहलाता है।

• समलम्ब चतुर्भुज
  एक ऐसा चतुर्भुज जिसकी भुजाओं का एक युग्म समान्तर हो समलम्ब चतुर्भुज कहलाता हैं।
• चक्रीय चतुर्भुज
  चक्रीय चतुर्भुज ऐसे चतुर्भुज को कहते हैं जिसके चारो शीर्ष किसी वृत्त की परिधि पर स्थित हों। किसी चक्रीय चतुर्भुज के आमने-सामने के कोणों का योग 180° होता है।
• पतंगाकार चतुर्भुज
  पतंगाकार में आसन्न भुजाओं के दो युग्म बराबर लम्बाई के होते हैं। अर्थात एक विकर्ण, चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता हैं। इसलिए समान भुजाओं के दो युग्मों के बीच के कोण बराबर होते हैं। और दोनों विकर्ण एक दूसरे के लम्बवत होते हैं।

• प्रमेय 8.1: किसी समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
• प्रमेय 8.2: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
• प्रमेय 8.3: यदि एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर हो, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।