एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 10.1

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए साधारण फार्मूला 1/2 x आधार x लंब दिया गया है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
त्रिभुज का क्षेत्रफल – हीरोन के सूत्र द्वारा
हीरोन ने त्रिभुज की तीनों भुजाओं के पदों में उसके क्षेत्रफल का प्रसिद्ध (या सुपरिचित) सूत्र प्रतिपादित किया है। हीरोन के इस सूत्र को हीरो का सूत्र भी कहा जाता है। इसे नीचे दिया जा रहा हैः
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s(s − a) (s − b) (s − c)}
जहाँ a, b और c त्रिभुज की भुजाएँ हैं तथा
s = त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप = (a + b + c)/2 है।
नोट: यह सूत्र उस स्थिति में सहायक होता है, जब त्रिभुज की ऊँचाई सरलता से ज्ञात न हो सकती हो।

एक त्रिभुजाकार पार्क ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, इस सूत्र का प्रयोग करें। जिसकी भुजाएं a = 40 m, b = 24 m और c = 32 m हैं।
हल:
सबसे पहले हम s ज्ञात करते हैं:
s = (40 + 24 + 32)/2 m
= 48 m
हीरोन के सूत्र द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s(s − a) (s − b) (s − c)}
= √{48(48 − 40) (48 − 24) (48 − 32)} m²
= √{48(48 − 40) (48 − 24) (48 − 32)} m²
= √{48(8) (24) (16)} m²
= 384 m²

यहाँ परिमाप = 32 cm, a = 8 cm तथा b = 11 cm है।
इसलिए तीसरी भुजा c = 32 cm – (8 + 11) cm = 13 cm
अब, 2s = 32 है इसलिए, s = 16 cm,
s – a = (16 – 8) cm = 8 cm,
s – b = (16 – 11) cm = 5 cm,
s – c = (16 – 13) cm = 3 cm
इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल = √{s(s − a) (s − b) (s − c)}
= √{16(8) (5) (3)} cm²
= 8√30 cm²

मान लीजिए भुजाएँ (मीटरों में) 3x, 5x और 7x हैं।
तब, हम जानते हैं कि 3x + 5x + 7x = 300 (त्रिभुज का परिमाप)
इसलिए, 15x = 300 है, जिससे x = 20 प्राप्त होता है।
इसलिए, त्रिभुज की भुजाएँ 3 × 20 m, 5 × 20 m और 7 × 20 m हैं।
अर्थात् ये भुजाएँ 60 m, 100 m और 140 m हैं।
अब हीरोन का सूत्र प्रयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:
यहाँ 2s = 300 m इसलिए s = 150 m
इसलिए, क्षेत्रफल = √{s(s − a) (s − b) (s − c)}
= √{150(150 − 60) (150 − 100) (150 − 140)}
= √{150(90) (50) (10)} = 1500√3 m²