एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 5.3

निम्न स्थितियों का अध्ययन कीजिए:
(a) वर्ग का क्षेत्रफल 144 cm² है। वर्ग की भुजा क्या होगी? हम जानते हैं कि वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा² होता है।
यदि हम भुजा की लंबाई का मान श्ंश् लेते हैं, तब 144 = a²
भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए आवश्यक है कि एक ऐसी संख्या ज्ञात करें जिसका वर्ग 144 है।
(b) एक वर्ग जिसकी भुजा 8 cm है, उसके विकर्ण की लंबाई क्या होगी?
इसको हल करने के लिए क्या हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं?
हम जानते हैं कि AB² + BC² = AC²
अर्थात 8² + 8² = AC²
या 64 + 64 = AC²
या 128 = AC²
पुनः AC प्राप्त करने के लिए हमें एक ऐसी संख्या सोचनी है जिसका वर्ग 128 हो।

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण और एक भुजा क्रमशः 5 cm और 3 cm हैं। क्या आप तीसरी भुजा प्राप्त कर सकते हैं?
माना कि तीसरी भुजा की लंबाई x cm है। पाइथागोरस प्रमेय के उपयोग से
5² = x² + 3²
25 – 9 = x²
16 = x²
इसलिए, x = 4 cm

योग की प्रतिलोम (विपरीत) संक्रिया घटाना है और गुणा की प्रतिलोम संक्रिया भाग है। इसी तरह वर्गमूल प्राप्त करना भी वर्ग की प्रतिलोम संक्रिया है।
हमें ज्ञात है 1² = 1, अतः 1 का वर्गमूल 1 है।
2² = 4, अतः 4 का वर्गमूल 2 है।
3² = 9, अतः 9 का वर्गमूल 3 है।

हमें ज्ञात है कि प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² है। अतः प्रत्येक वर्ग संख्या को 1 से प्रारंभ कर क्रमागत प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। √81 को लीजिए:
(i) 81 – 1 = 80
(ii) 80 – 3 = 77
(iii) 77 – 5 = 72
(iv) 72 – 7 = 65
(v) 65 – 9 = 56
(vi) 56 – 11 = 45
(vii) 45 – 13 = 32
(viii) 32 – 15 = 17
(ix) 17 – 17 = 0
संख्या 1 से क्रमागत विषम संख्याओं को 81 में रूप घटाने पर 9वाँ पद 0 प्राप्त होता है।
अतः √81 = 9 है।

6400 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए?
हल:
लिखिए 6400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
युग्म लेने पर
अतः √6400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 80

क्या 90 एक पूर्ण वर्ग है?
हल:
हम 90 = 2 × 3 × 3 × 5 रखते हैं।
अभाज्य गुणनखंड में 2 और 5 युग्म में नहीं हैं।
अतः 90 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है। जिसे यथार्थ रूप में हम इस प्रकार भी देख सकते हैं क्योंकि इसमें केवल 1 शून्य है।