एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 5.1

जब किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा किया जाता हैं तो प्राप्त गुणनफल को संख्या का वर्ग कहते हैं। उदाहरण: 2² ⇒ 2 × 2 = 4, 3² ⇒ 3 × 3 = 9.
वर्ग संख्याओं के गुणधर्म
वर्ग संख्याओं के निम्नलिखित गुण होते हैं:
1. यदि एक संख्या के इकाई स्थान पर 1 या 9 आता है तब इसकी वर्ग संख्या के अंत में 1 आता है।
उदाहरण:
11² = 121
9² = 81

2. जब कोई वर्ग संख्या 6 पर समाप्त होती है तो वह जिस संख्या का वर्ग है, उसका इकाई अंक या तो 4 या 6 होगा।
उदाहरण:
4² = 16
6² = 36
14² = 196
16² = 256

3. यदि किसी संख्या के अंत में एक शून्य है तो उसके वर्ग में शून्य की संख्या 2 होगी और अगर अंत में 2 शून्य हैं तो संख्या के वर्ग में 4 शून्य होगें।
उदाहरण:
10² = 100
100² = 10000
1000² = 1000000

त्रिकोणीय संख्याओं के जोड़
यदि हम दो क्रमागत त्रिभुजीय संख्याओं को आपस में जोड़ते हैं तब हम एक वर्ग संख्या प्राप्त करते हैं, जैसे:
1 + 3 = 4 = 2²
3 + 6 = 9 = 3²
6 + 10 = 16 = 4²

अब हम देखेंगे कि क्या हम दो क्रमागत वर्ग संख्याओं के बीच कुछ रुचिकर प्रतिरूप प्राप्त कर सकते हैं।
(a) दो वर्ग संख्याओं 9 = 3² और 16 = 4² के बीच 6 संख्याएँ हैं जो वर्ग संख्या नहीं हैं।
(b) दो वर्ग संख्याओं 16 = 4² और 25 = 5² के बीच 8 संख्याएँ हैं जो वर्ग संख्या नहीं हैं।
व्यापक रूप से हम कह सकते हैं कि दो वर्ग संख्याओं n और (n + 1) के बीच 2n संख्याएँ हैं जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

पहली n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² है।
इसे अलग ढ़ंग से देखते हुए हम कह सकते हैं कि यदि एक संख्या, वर्ग संख्या है तो वह 1 से प्रारंभ होने वाली क्रमागत विषम संख्याओं का योग है।
उदाहरण:
1 + 3 [पहली दो विषम संख्याओं का योग] = 4 = 2²
1 + 3 + 5 {पहली तीन विषम संख्याओं का योग} = 9 = 3²
यदि कोई प्राकृत संख्या 1 से प्रारंभ होने वाली क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं हो सकती तो वह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।