एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 10.1

घातांक का सामान्य अर्थ है , जिस संख्या के ऊपर जो संख्या (घात) है, उस संख्या को उतनी बार गुणा करना, जितनी उसके ऊपर संख्या (घात) है। किसी संख्या पर घात लगाने की आवश्यकता क्यों पड़ती है इसे एक उदाहरण द्वारा समझते हैं।
पृथ्वी का द्रव्यमान 5,970,000,000,000, 000, 000, 000, 000 kg है। इतनी बड़ी संख्या को लिखना व्यवहारिक रूप से संभव नहीं है। इसलिए इसको सरल बनाने के लिए घातांक का प्रयोग करते हैं। उपरोक्त संख्या को घातांक के रूप में लिखने के लिए इसको लिखेंगे
= 5.97 × 10²⁴ kg
हम 10²⁴ को 10 की घात 24 पढ़ते हैं।
हम जानते है कि 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

हम जानते हैं कि 10² = 10 × 10 = 100
10¹ = 10
10⁰ = 1
10⁻¹ = 1/10
जहाँ धनात्मक घात में उस संख्या को उतनी बार गुणा करना, जितनी उसके ऊपर संख्या (घात) है। जबकि ऋणात्मक घात में उस संख्या को उतनी बार उसी संख्या से भाग करना, जितनी उसके ऊपर ऋणात्मक संख्या (घात) है।
10⁻² = 1/10 × 1/10 = 1/100 = 1/10²

हम जानते हैं कि सीखा कि संख्याओं को विस्तारित घातांक रूप में कैसे लिख सकते हैं, जैसे:
1425 = 1 × 10³ + 4 × 10² + 2 × 10¹ + 5 × 10°
अब हमें देखना चाहिए कि 1425.36 को विस्तारित रूप में कैसे व्यक्त कर सकते हैं।
1 × 10³ + 4 × 10² + 2 × 10¹ + 5 × 10° + 3/10 + 6/100⁻²
1 × 10³ + 4 × 10² + 2 × 10¹ + 5 × 10° + 3 × 10⁻¹ + 6 × 10⁻²

उदाहरण:
4⁻³ को घात और उसके आधार 2 के रूप में लिखिए।
हल:
हमें प्राप्त है 4 = 2 × 2 = 2²
इसलिए, 4⁻³ = (2 × 2)⁻³ = (2²)⁻³ = (2)²˟⁻³ = (2)⁻⁶

किसी भी शून्येतर परिमेय संख्या a के लिए aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ जहाँ m और n प्राकृत सख्ंयाएँ हैं। यदि घाताकं ऋणात्मक है तो
a⁻ᵐ = 1/aᵐ
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ जहाँ m, n प्राकृतिक संख्याएं हैं और m > n
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
जहाँ m, n प्राकृतिक संख्याएं हैं और m > n
उदाहरण:
मान ज्ञात कीजिए:
(i) 2⁻³
(ii) 1/3⁻²
हल:
(i) 2⁻³ = 1/2³ = ½ × ½ × ½ = 1/8
(ii) 1/3⁻² = 3² = 3 × 3 = 9

उदाहरण:
सरल कीजिए
(i) (-4)⁵ × (-4)⁻¹⁰
(ii) (2)⁵ ÷ (2)⁻⁶
हल:
(i) (-4)⁵ × (-4)⁻¹⁰ = (-4)⁵⁻¹⁰ = (-4)⁻⁵ = 1/ (-4)⁵
(ii) (2)⁵ ÷ (2)⁻⁶ = (2)⁵⁻( ⁻⁶) = (2)⁵⁺⁶ = (2)¹¹