एनसीईआरटी समाधान कक्षा 6 गणित प्रश्नावली 11.1

बीजगणित, गणित के व्यापक विभागों में से एक है। अपने सबसे सामान्य रूप में, बीजगणित गणितीय प्रतीकों और इन प्रतीकों में हेरफेर करने के नियमों का अध्ययन है। बीजगणित लगभग सम्पूर्ण गणित को एक सूत्र में पिरोने वाला विषय है।

बीजगणित की मुख्य विशेषता यह है कि इसमें अक्षरों का प्रयोग किया जाता है। अक्षरों के प्रयोग से, हम नियमों और सूत्रों को व्यापक रूप में लिख पाने में समर्थ हो जाएँगे। अक्षरों के इस प्रयोग से, हम केवल एक विशेष संख्या की ही बात न करके, किसी भी संख्या की बात कर सकते हैं। दूसरी बात यह है कि अक्षर अज्ञात राशियों के स्थान पर भी प्रयोग किए जा सकते हैं। इन अज्ञात राशियों को निर्धारित करने की विधियों को सीखकर हम पहेलियाँ और दैनिक जीवन से संबंधित अनेक समस्याओं को हल करने के अनेक प्रभावशाली साधन विकसित कर सकते हैं। तीसरी बात यह है कि ये अक्षर संख्याओं के स्थान पर प्रयोग किए जाते हैं, इसलिए इन पर संख्याओं की तरह संक्रियाएँ भी की जा सकती हैं। इससे हम बीजीय व्यंजकों और उनके गुणों के अध्ययन की ओर अग्रसर होते हैं।

अमीना आरै सरिता माचिस की तीलियों से प्रतिरूप बना रही हैं। उन्होंने अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों के सरल प्रतिरूप बनाने का निर्णय किया। अमीना दो तीलियाँ लेकर अक्षर L बनाती है। फिर सरिता भी दो तीलियाँ लेती है और उनसे एक अन्य L बनाकर अमीना द्वारा बनाए गए L के आगे रख देती है। फिर अमीना एक और स् बनाकर आगे रख देती है और यह सिलसिला आगे जारी रहता है।
तभी उनका मित्र अप्पू आ जाता है। वह इस प्रतिरूप को देखता है। अप्पू सदैव प्रश्न पूछता रहता है। वह इन लड़कियों से पूछता है, सात स् बनाने के लिए कितनी तीलियों की आवश्यकता पड़ेगी? अमीना और सरिता सुचारु रूप से कार्य करती हैं। वे 1 L, 2 L, 3 L इत्यादि से प्रतिरूप बनाती रहती हैं और एक सारणी बनाती हैं:

बनाए गए L की संख्या आवश्यक तीलियों की संख्या
1 – 2
2 – 4
3 – 6
4 – 8
5 – 10
6 – 12
7 – 14
8 – 16
अप्पू को सारणी-1 से अपना उत्तर प्राप्त हो जाता है। 7 स् बनाने के लिए 14 तीलियों की आवश्यकता होगी।
सारणी में लिखते समय, अमीना यह अनुभव करती है कि आवश्यक तीलियों की संख्या बनाए गए L की संख्या की दोगुनी है।
अर्थात् आवश्यक तीलियों की संख्या = 2 × L की संख्या
आइए, सुविधा के लिए, L की संख्या के लिए अक्षर n लिखें।
यदि एक L बनाया जाता है, तो n = 1 है यदि 2L बनाए जाते हैं तो n = 2 है इत्यादि। इस
प्रकार, n कोई भी प्राकृत संख्या 1, 2, 3, 4, 5, … हो सकती है। फिर हम लिखते हैं:
आवश्यक तीलियों की संख्या = 2 × n है।

एक चर की अवधारणा
n चर का एक उदाहरण है। इसका मान स्थिर नहीं है यह कोई भी मान 1, 2, 3, 4, … ले सकता है। हमने आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए, चर n का प्रयोग करके, नियम लिखा।

एक चर को दर्शाने के लिए, किसी भी अक्षर m, l, p, x, y, z इत्यादि का प्रयोग किया जा सकता है। याद रखिए, एक चर वह संख्या है जिसका मान स्थिर नहीं होता। उदाहरणार्थ, संख्या 5 या संख्या 100 या कोई अन्य दी हुई संख्या एक चर नहीं है। इनके मान स्थिर (निश्चित) हैं। इसी प्रकार, त्रिभुज के कोणों की संख्या का मान स्थिर है, जो 3 है। यह एक चर नहीं है। एक चतुर्भुज के कोणों की संख्या (4) स्थिर है। यह भी एक चर नहीं है। परंतु उपरोक्त उदाहरणों, जो हमने देखे हैं, में n एक चर है। यह विभिन्न मान 1, 2, 3, 4, … ले (ग्रहण कर) सकता है।