एनसीईआरटी समाधान कक्षा 12 गणित अध्याय 1 विविध प्रश्नावली

समुच्चय X में एक द्विआधारी संक्रिया ’ क्रमविनिमेय कहलाती है, यदि प्रत्येक a, b ∈ X के लिए a x b = b x a हो।
इसी प्रकार समुच्चय X में a, b ∈ X के लिए a + b = b + a, लेकिन यह नियम व्यवकलन और भाग वाली संक्रिया के लिए सत्य नहीं है।

सिद्ध कीजिए कि +: R × R ⟶ R तथा ×: R × R ⟶ R, क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रियाएँ है, परंतु -: R × R ⟶ R तथा ÷: R × R ⟶ R क्रमविनिमेय नहीं हैं।

हल
क्योंकि a + b = b + a तथा a × b = b × a, ∀ a, b ∈ R, अतएव “+” तथा “×” क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रियाएँ हैं। तथापि “-” क्रमविनिमेय नहीं है, क्योंकि 3 – 4 ≠ 4 – 3
इसी प्रकार 3 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 3, जिससे स्पष्ट होता है कि “÷” क्रमविनिमेय नहीं है।

एक द्विआधारी संक्रिया ×: A × A ⟶ A, साहचर्य कहलाती है, यदि (a × b) × c = a × (b × c), ∀ a, b, c ∈ A,
इसी प्रकार साहचर्य का नियम योग के लिए भी सत्य है।
लेकिन यह नियम व्यवकलन और भाग वाली संक्रिया के लिए सत्य नहीं है।

विविध प्रश्नावली 1 से संबंधित स्मरणीय तथ्य:

• 1. एक अवयव e ∈ X, द्विआधारी संक्रिया x: X × X ⟶ X, का तत्समक अवयव है, यदि a x e = a = e x a, ∀ a ∈ X,
• 2. कोई अवयव e ∈ X द्विआधारी संक्रिया x: X × X ⟶ X, के लिए व्युत्क्रमणीय होता है, यदि एक ऐसे b ∈ X का अस्तित्व है कि a x b = e = b x a है जहाँ e द्विआधारी संक्रिया x का तत्समक है। अवयव b, a का प्रतिलोम कहलाता है, जिसे a⁻¹ से निरूपित करते हैं।
• 3. X का एक संक्रिया x, क्रमविनिमय है यदि a x b = b x a ∀ a, b ∈ X
• 4. X में, एक संक्रिया x, साहचर्य है यदि (a x b) x c = a x (b x c), ∀ a, b ∈ X