एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 8.1

वस्तुओं की किसी क्रमित सूची को अनुक्रम कहते हैं। अनुक्रम में ‘क्रम’ का महत्व है जबकि समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता। अनुक्रम में एक ही सदस्य अलग-अलग स्थानों पर भी आ सकते हैं। अनुक्रम के सदस्य ‘कुछ भी’ हो सकते हैं, जैसे संख्याएँ, शब्द, वर्ण, रंग, नाम आदि।
माना कि पीढि़यों का अंतर 30 वर्ष है और व्यक्ति के 300 वर्षों में पूर्वजों अर्थात् माता-पिता दादा-दादी, परदादा-परदादी आदि की संख्या ज्ञात कीजिए। यहाँ पीढि़यों की कुल संख्या =300/30 = 10

प्रथम, द्वितीय, तृतीय, — दसवीं पीढ़ी के लिए व्यक्ति के पूर्वजों की संख्या क्रमशः 2, 4, 8, 16, 32, …..,1024 है। ये संख्याएँ एक अनुक्रम का निर्माण करती हैं, एक अनुक्रम में जो संख्याएँ आती हैं उन्हें हम उसका पद कहते हैं। अनुक्रम के पदों को हम a1, a2, a3, an आदि द्वारा निरूपित करते हैं। प्रत्येक पद के साथ लगी संख्या जिसे पदांक कहते हैं, उसका स्थान बताती है। अनुक्रम का nवाँ पद nवें स्थान को निरूपित करता है और इसे an द्वारा निरूपित करते हैं, इसे अनुक्रम का व्यापक पद भी कहते हैं।

परिमित अनुक्रम
वे अनुक्रम, जिनमें पदों की संख्या सीमित होती हैं, उसे ‘परिमित अनुक्रम’ कहते हैं। उदाहरणतः पूर्वजों का अनुक्रम परिमित अनुक्रम है, क्योंकि उसमें 10 पद हैं (सीमित संख्या)।
अपरिमित अनुक्रम
एक अनुक्रम, अपरिमित अनुक्रम कहा जाता है, जिसमें पदों की संख्या सीमित नहीं होती है। उदाहरणतः पूर्वोक्त क्रमागत भागफलों का अनुक्रम एक ‘अपरिमित अनुक्रम’ है। अपरिमित कहने का अर्थ है, जो कभी समाप्त नहीं होता।

दी गई परिभाषाओं के आधार पर निम्नलिखित प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम तीन पद बताइए:
(i) aₙ = 2n + 5
(ii) aₙ = (n – 3)/4
हल:
(i) यहाँ aₙ = 2n + 5
n = 1, 2, 3 रखने पर, हम पाते हैं:
a₁ = 2(1) + 5 = 7, a₂ = 9, a₃ = 11
इसलिए, वांछित पद 7, 9 तथा 11 हैं।
(ii) यहाँ
aₙ = (n – 3)/4
इस प्रकार
a₁ = (1 – 3)/4 = -1/2,
a₂ = (2 – 3)/4 = -1/4
a₃ = (3 – 3)/4 = 0
अतः प्रथम तीन पद -1/2, -1/4 तथा 0 हैं।

aₙ = (n – 1) (2 – n) (3 + n) द्वारा परिभाषित अनुक्रम का 20वाँ पद क्या हैं?
हल:
हम n = 20 रखने पर, पाते हैं
20 = (20 – 1) (2 – 20) (3 + 20)
= 19 × (- 18) × (23)
= – 7866.

माना कि अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है:
a₁ = 1,
aₙ = aₙ₋₁ + 2 यहाँ n ≥ 2
तो अनुक्रम के पाँच पद ज्ञात कीजिए तथा संगत श्रेणी लिखिए।
हल:
हम पाते हैं:
a₁ = 1, a₂ = a₁ + 2 = 1 + 2 = 3,
a₃ = a₂ + 2 = 3 + 2 = 5,
a₄ = a₃ + 2 = 5 + 2 = 7,
a₅ = a₄ + 2 = 7 + 2 = 9.
अतः अनुक्रम के प्रथम पाँच पद 1, 3, 5, 7 तथा 9 हैं।
संगत श्रेणी 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ……. है।