एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 3 विविध प्रश्नावली

sine तथा cosine फलनों की परिभाषा से, हम यह पाते हैं कि वे सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित हैं। पुनः, हम यह भी पाते हैं कि प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए,
-1 ≤ sin x ≤ 1 तथा -1 ≤ cos x ≤ 1
अतः y = sin x तथा y = cos x का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा परिसर अंतराल [-1, 1], अर्थात्, -1 ≤ y ≤ 1 है।
चूँकि cosec x = 1/ sin x, इसलिए y = cosec x का प्रांत समुच्चय {x: x ∈ R तथा x ≠ n π, n ∈ Z} तथा परिसर समुच्चय {y: y ∈ R, y ≥ 1 या y ≤ -1} है।

इसी प्रकार y = sec x का प्रांत समुच्चय {x: x ∈ R तथा x ≠ (2n + 1) π/2, n ∈ Z} तथा परिसर समुच्चय {y: y ∈ R, y ≤ -1 या y ≥ 1} है।
y = tan x का प्रांत समुच्चय {x: x ∈ R तथा x ≠ (2n + 1) π/2, n ∈ Z} तथा परिसर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
y = cot x का प्रांत समुच्चय {x: x ∈ R तथा x ≠ n π, n ∈ Z} तथा परिसर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

इससे पहले वाले अभ्यास 3.3 में 1 से 12 तक की सर्वसमिकाओं का वर्णन किया जा चुका है आगे की कुछ सर्वसमिकाएँ निम्न प्रकार से हैं:
14. cos 2x = cos² x – sin² x = 2 cos² x – 1 = 1 – 2 sin² x = (1 – tan² x)/ (1 + tan² x)
हम जानते हैं कि
cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y
y के स्थान पर x, रखें तो, हम पाते हैं
cos 2x = cos² x – sin² x = 2 cos² x – 1
या cos 2x = 1 – 2 sin² x
या (cos² x – sin² x)/(cos² x + sin² x)

अंश और हर को cos² x से विभाजित करने पर, हम पाते हैं
cos 2x = (1 – tan² x)/ (1 + tan² x)
15. sin 2x = 2 sin x cos x = 2 tan x/ (1 + tan² x)
16. tan 2x = 2 tan x/ (1 – tan² x)
17. sin 3x = 3 sin x – 4 sin³ x
18. cos 3x = 4 cos³ x – 3 cos x
19. tan 3x = (3 tan x – 4 tan³ x)/ (1 – 3tan² x)
20. (i) cos x + cos y = 2 cos (x + y)/2 cos (x – y)/2
(ii) cos x – cos y = – 2 sin (x + y)/2 sin (x – y)/2
(iii) sin x + sin y = 2 sin (x + y)/2 cos (x – y)/2
(iv) sin x – sin y = 2 cos (x + y)/2 sin (x – y)/2

सर्वसमिका 20 से हम निम्न परिणाम पाते हैंः
21. (i) 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x – y)
(ii) –2 sin x sin y = cos (x + y) – cos (x – y)
(iii) 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x – y)
(iv) 2 cos x sin y = sin (x + y) – sin (x – y)