एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 3.3

दो संख्याओं (कोणों) के योग एवं अंतर के लिए त्रिकोणमितीय फलनों तथा उनसे संबंधित व्यंजकों को व्युत्पन्न करेंगे। इस संबंध में इन मूल परिणामों को त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कहते हैं।
1. sin (– x) = – sin x
2. cos (– x) = cos x
3. cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y
4. cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y

cos (x + (– y)) = cos x cos (– y) – sin x sin (– y)
या cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y
5. cos (π/2 – x) = sin x

सर्वसमिका 4 में x के स्थान पर π/2 तथा y के स्थान पर x रखने पर हम पाते हैं
cos (π/2 – x) = cos π/2 cos x + sin π/2 sin x = sin x
6. sin (π/2 – x) = cos x

sin (π/2 – x) = cos [π/2 – (π/2 – x)] = cos x
7. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
हम जानते हैं कि
sin (x + y) = cos [π/2 – (π/2 – x)] = cos [(π/2 – x) – y]
cos (π/2 – x) cos y + sin (π/2 – x) sin y
= sin x cos y + cos x sin y
8. sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y
यदि हम सर्वसमिका 7 में y के स्थान पर – y रखें तो उपरोक्त परिणाम पाते हैं।

x और y के उपर्युक्त मानों को सर्वसमिकाओं 3, 4, 7 और 8 में रखने पर हम निम्नलिखित परिणाम निकाल सकते हैंः
cos (π/2 + x) = – sin x
sin (π/2 + x) = cos x
cos (π – x) = cos x
sin (π – x) = sin x
cos (π + x) = – cos x
sin (π + x) = – sin x
cos (2π – x) = cos x
sin (2π – x) = – sin x

इसी प्रकार के संगत परिणाम tan x, cot x, sec x, एवं cosec x के लिए sin x और cos x के फलनों के परिणामों से आसानी से निकाले जा सकते हैं।
10. यदि x, y और (x + y) में से कोई π/2 का विषम गुणांक नहीं हैं तो,
tan (x + y) = (tan x + tan y) / (1 – tan x tan y)
11. tan (x – y) = (tan x – tan y) / (1 + tan x tan y)
12. यदि x, y और (x + y) में से कोई π का विषम गुणांक नहीं हैं तो,
cot (x + y) = (cot x cot y – 1) / (cot y + cot x)
13. यदि x, y और (x – y) में से कोई π का विषम गुणांक नहीं हैं तो,
cot (x – y) = (cot x cot y + 1) / (cot y – cot x)