एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 3.2

त्रिकोणमितीय फलन या ‘वृत्तीय फलन’ कोणों के फलन हैं।
मान लीजिए कि एक इकाई वृत्त, जिसका केंद्र निर्देशांक अक्षों का मूल बिंदु हो। माना कि P (a, b) वृत्त पर कोई बिंदु है तथा कोण AOP = x रेडियन अर्थात् चाप की लंबाई AP = x है। हम परिभाषित करते हैंः
cos x = a तथा sin x = b
चूँकि ∆ OMP समकोण त्रिभुज है, हम पाते हैं,
OM² + MP² = OP² या a² + b² = 1

इस प्रकार इकाई वृत्त पर प्रत्येक बिंदु के लिए, हम पाते हैं कि
a² + b² = 1 या cos²x + sin²x = 1
क्योंकि एक पूर्ण परिक्रमा (घूर्णन) द्वारा वृत्त के केंद्र पर 2π रेडियन का कोण अंतरित होता है,
इसलिए ∠AOB = π/2, ∠AOC = π तथा ∠AOD = 3π/2
π/2 के प्रांत गुणज वाले सभी कोणों को चतुर्थांशीय कोण या वृत्तपादीय कोण कहते हैं।

चूँकि इकाई वृत्त के प्रत्येक बिंदु P (a, b) के लिए -1 ≤ a ≤ 1 तथा दृ -1 ≤ b ≤ 1 अतः, हम x के सभी मानों के लिए
-1 ≤ cos x ≤ 1 तथा -1 ≤ sin x ≤ 1 पाते हैं।
हमको ज्ञात है कि प्रथम चतुर्थांश (0 < x < π/2) में a तथा b दोनों धनात्मक हैं,
दूसरे चतुर्थांश (π/2 < x < π) में a ऋणात्मक तथा b धनात्मक हैं,
तीसरे चतुर्थांश (π < x < 3π/2) में a तथा b दोनों ऋणात्मक हैं, तथा
चतुर्थ चतुर्थांश (3π/2 < x < 2π) में a धनात्मक तथा b ऋणात्मक है।
इसलिए 0 < x < π के लिए sin x धनात्मक तथा π < x < 2π के लिए ऋणात्मक होता है। इसी प्रकार, 0 < x < π/2 के लिए cos x धनात्मक, π < x < 3π/2 के लिए ऋणात्मक तथा 3π/2 < x < 2π के लिए धनात्मक होता है।

यदि cos x = – 3/5 हो और x तृतीय चतुर्थांश में स्थित है, तो अन्य पाँच त्रिकोणमितीय फलनों के मानों को ज्ञात कीजिए।
क्योंकि, cos x = – 3/5, इसलिए sec x = – 5/3
अब sin² x + cos² x = 1 या sin² x = 1- cos² x
या sin² x = 1- 9/25 = 16/25
या sin x = ±4/5
चूँकि x तृतीय चतुर्थांश में है, तो sin x का मान ऋणात्मक होगा। इसलिए
sin x = – 4/5
इससे यह भी प्राप्त होता है कि
cosec x = – 5/4
tan x = sin x / cos x = (- 4/5)/ (- 3/5) = 4/3
तथा cot x = cos x / sin x = ¾

sin 31 π/3 का मान ज्ञात कीजिए।
हम जानते हैं कि sin x के मानों में अंतराल 2 π के पश्चात् पुनरावृत्ति होती है।
इसलिए sin 31 π/3 = (10 π + π/3) = sin π/3 = √3/2.
उदाहरण
cos (-1710°) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि cos x के मानों में अंतराल 2 π या 360° के पश्चात् पुनरावृत्ति होती है। इसलिए
cos (–1710°) = cos (–1710° + 5 × 360°)
= cos (–1710° + 1800°) = cos 90° = 0