एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 3.1

एक कोण वह माप है जो एक किरण के उसके प्रारंभिक बिंदु के परितः घूमने पर बनता है। किरण के घूर्णन की मूल स्थिति को प्रारंभिक भुजा तथा घूर्णन के अंतिम स्थिति को कोण की अंतिम भुजा कहते हैं। घूर्णन बिंदु को शीर्ष कहते हैं। यदि घूर्णन वामावर्त्त है तो कोण धनात्मक तथा यदि घूर्णन दक्षिणावर्त्त है तो कोण ऋणात्मक कहलाता है। किसी कोण का माप, घूर्णन (घुमाव) की वह मात्र है जो भुजा को प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक घुमाने पर प्राप्त होता है। कोण को मापने के लिए अनेक इकाइयाँ हैं। कोण की परिभाषा इसकी इकाई का संकेत देती है।

यदि प्रारंभिक भुजा से अंतिम भुजा का घुमाव एक पूर्ण परिक्रमण का (1/360)वाँ भाग हो तो हम कोण का माप एक डिग्री कहते हैं, इसे 1° से लिखते हैं। एक डिग्री को मिनट में तथा एक मिनट को सेकंड में विभाजित किया जाता है। एक डिग्री का साठवाँ भाग एक मिनट कहलाता है, इसे 1’¬ से लिखते हैं तथा एक मिनट का साठवाँ भाग एक सेकंड कहलाता है, इसे 1”¬¬ से लिखते हैं। अर्थात् 1° = 60’, 1’¬ = 60”.

कोण को मापने के लिए एक दूसरी इकाई भी है, जिसे रेडियन माप कहते हैं। इकाई वृत्त (वृत्त की त्रिज्या एक इकाई हो) के केंद्र पर एक इकाई लंबाई के चाप द्वारा बने कोण को एक रेडियन माप कहते हैं।
टिप्पणी:
इकाई त्रिज्या के वृत्त की परिधि 2π होती है। अतः प्रारंभिक भुजा की एक पूर्ण परिक्रमा केंद्र पर 2π रेडियन का कोण अंतरित करती है।

वृत्त, केंद्र पर एक कोण बनाता है जिसकी माप 2π रेडियन है तथा यह 360° डिग्री माप है, इसलिए 2π रेडियन = 360° या π रेडियन = 180° उपर्युक्त संबंध हमें रेडियन माप को डिग्री माप तथा डिग्री माप को रेडियन माप में व्यक्त करते हैं।
π का निकटतम मान 22/7 का उपयोग करके, हम पाते हैं कि 1 रेडियन = 180°/ π = 57°16’¬ निकटतम

चूँकि कोणों की माप या तो डिग्री में या रेडियन में होती है, अतः प्रचलित परिपाटी के अनुसार जब हम कोण θ° लिखते हैं, हम समझते हैं कि कोण का माप θ डिग्री है तथा जब हम कोण β लिखते हैं, हम समझते हैं कि कोण का माप β रेडियन है।

40° 20’¬ को रेडियन माप में बदलिए।
हम जानते हैं कि 180° = π रेडियन
इसलिए, 40° 20’¬ = 40(1/3) डिग्री = (π/180) × (121/3) रेडियन = 121π/540 रेडियन
इसलिए 40° 20’¬ = 121π/540 रेडियन

उदाहरण: 6 रेडियन को डिग्री माप में बदलिए।
हल:
हम जानते हैं कि π रेडियन = 180°
इसलिए 6 रेडियन = 180/ π × 6 डिग्री = 1080 × (7/22) डिग्री
= 343(7/11) डिग्री = 343° + (7 × 60)/11 मिनट (क्योंकि 1° = 60¬’)
= 343° + 38’¬ + 2/11 मिनट (क्योंकि 1’¬ = 60”)
= 343° + 38’¬+ 10.9” = 343°38’11” निकटतम
इसलिए 6 रेडियन = 343° 38’¬ 11” निकटतम

उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसमें 60° का केंद्रीय कोण परिधि पर 37.4 सेमी लंबाई का चाप काटता है (π = 22/7 का प्रयोग करें)।
यहाँ l = 37.4 सेमी तथा θ = 60° = 60π/180 रेडियन
= π /3
अतः r = l/r, से हम पाते हैं
r = (37.4 × 3)/π = (37.4 × 3 × 7)/22
= 35.7 सेमी