एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 2.3

एक समुच्चय A से समुच्चय B का संबंध, f एक फलन कहलाता है, यदि समुच्चय A के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में, एक और केवल एक प्रतिबिंब होता है।
दूसरे शब्दों में, फलन f, किसी अरिक्त समुच्चय A से एक अरिक्त समुच्चय B का है, इस प्रकार का संबंध कि f का प्रांत A है तथा f के किसी भी दो भिन्न क्रमित युग्मों के प्रथम घटक समान नहीं हैं।
यदि f, A से B का एक फलन है तथा (a, b) ¬∈ f, तो f (a) = b, जहाँ b को f के अंतर्गत a का प्रतिबम्ब तथा a को b का ‘पूर्व प्रतिबिंब’ कहते हैं।
A से B के फलन f को प्रतीकात्मक रूप में f: A⟶B से निरूपित करते हैं।

एक ऐसे फलन को जिसका परिसर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय या उसका कोई उपसमुच्चय हो, वास्तविक मान फलन कहते हैं। यदि वास्तविक चर वाले किसी वास्तविक मान फलन का प्रांत भी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अथवा उसका कोई उपसमुच्चय हो तो इसे वास्तविक फलन भी कहते हैं।

मान लीजिए R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। y = f(x), प्रत्येक x ∈¬ R द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन f: R ⟶ R है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर f के प्रांत तथा परिसर R हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।

y = f (x) = c जहाँ c एक अचर है और प्रत्येक x ∈¬ R द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन f: R ⟶ R है। यहाँ पर f का प्रांत R है और उसका परिसर {c} है। f का आलेख x-अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि f(x)=3 प्रत्येक x ∈¬ R है। यह y-अक्ष के समान्तर एक रेखा है।

फलन f: R ⟶ R एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि R के प्रत्येक x के लिए, y = f (x) = a₀ + a₁x + a₂x² + …+ aₙ xⁿ, जहाँ n एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा a₀, a₁, a₂, …, aₙ ∈¬ R
f(x) = x³ – x² + 2 और g(x) = x⁴ + √2 x, द्वारा परिभाषित फलन एक बहुपदीय फलन है।

मान लीजिए कि N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय हे और N पर परिभाषित एक संबंध R इस प्रकार है कि R = {(x, y): y = 2x, x, y ∈ N}.
R के प्रांत, सहप्रांत तथा परिसर क्या हैं? क्या यह संबंध, एक फलन है?
हल:
R का प्रांत, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N है। इसका सहप्रांत भी N है। इसका परिसर सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। क्योंकि प्रत्येक प्राकृत संख्या द का एक और केवल एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह संबंध एक फलन है।

नीचे दिए संबंधों में से प्रत्येक का निरीक्षण कीजिए और प्रत्येक दशा में कारण सहित बतलाइए कि क्या यह फलन है अथवा नहीं?
i) R = {(2,1), (3,1), (4,2)},
(ii) R = {(2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}
(iii) R = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7)}

हल:
(i) क्योंकि R के प्रांत के प्रत्येक अवयव 2, 3, 4 के प्रतिबिंब अद्वितीय हैं, इसलिए यह संबंध एक फलन है।
(ii) क्योंकि एक ही प्रथम अवयव 2, दो भिन्न-भिन्न प्रतिबिंबों 2 और 4 से संबंधित है, इसलिए यह संबंध एक फलन नहीं हैं।
(iii) क्योंकि प्रत्येक अवयव का एक और केवल एक प्रतिबिंब है, इसलिए यह संबंध एक फलन है।