एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 2.2

1. किसी अरिक्त समुच्चय A से अरिक्त समुच्चय A में संबंध कार्तीय गुणन A × B का एक उपसमुच्चय होता है यह उपसमुच्चय A × B के क्रमति युग्मों के प्रथम तथा द्वितीय घटकों के मध्य एक संबंध स्थापित करने से प्राप्त होता है। द्वितीय घटक, प्रथम घटक का प्रतिबिंब कहलाता है।
2. समुच्चय A से समुच्चय B में संबंध R के क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों के समुच्चय को संबंध R का प्रांत कहते हैं।
3. समुच्चय A से समुच्चय B में संबंध R के क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय घटकों के समुच्चय को संबंध R का परिसर कहते हैं। समुच्चय B संबंध R का सह-प्रांत कहलाता है। नोट कीजिए कि, परिसर ⊆ सहप्रांत
टिप्पणी
(i) एक संबंध का बीजीय निरूपण या तो रोस्टर विधि या समुच्चय निर्माण विधि द्वारा किया जा सकता है।
(ii) एक तीर आरेख किसी संबंध का एक दृष्टि चित्रण है।

मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, R = {(x, y): y = x + 1} द्वारा A से A में एक संबंध परिभाषित कीजिए। R के प्रांत, सहप्रांत तथा परिसर लिखिए।
परिभाषा द्वारा
R = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)}
हम देख सकते हैं कि प्रथम घटकों का समुच्चय अर्थात् प्रांत = {1, 2, 3, 4, 5}
इसी प्रकार, द्वितीय घटकों का समुच्चय अर्थात् परिसर = {2, 3, 4, 5, 6} तथा सहप्रांत = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

समुच्चय P = {9, 4, 25} और Q = {-5, -3, -2, 1, 2, 3, 5} के बीच के संबंध को परिभाषित कीजिए।
इस संबंध को
(i) समुच्चय निर्माण रूप में
(ii) रोस्टर रूप में लिखिए। इसके प्रांत तथा परिसर क्या हैं?

हल:
स्पष्टतः संबंध R, “x, y’ का वर्ग है”
(i) समुच्चय निर्माण रूप में, R = {(x, y): x, y का वर्ग है, x ∈¬ P, y ∈¬ Q
(ii) रोस्टर रूप में, R = {(9, 3), (9, –3), (4, 2), (4, –2), (25, 5), (25, –5)}
इस संबंध का प्रांत {4, 9, 25} है।
इस संबंध का परिसर {-5, -3, -2, 1, 2, 3, 5}
नोट कीजिए कि अवयव 1, P के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है तथा समुच्चय Q इस संबंध का सहप्रांत है।

टिप्पणी:
किसी समुच्चय A से समुच्चय B में संबंधों की कुल संख्या, A × B के संभव उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर होती है। यदि n(A) = p और n(B) = q, तो n(A × B) = pq और संबंधों की कुल संख्या 2pq होती है।