एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित प्रश्नावली 2.1

फलन एक तकनीकी धारणा है जो चरों में पाए जाने वाले संबंध को व्यक्त करती है। जब दो चरों x और y में इस प्रकार का संबंध पाया जाता है कि x के प्रत्येक मूल्य के लिए y का एक निश्चित मूल्य होता है तो हम कहेंगे कि y, x का फलन है। इसे हम निम्न ढंग से व्यक्त कर सकते हैं। y = f(x) जहाँ x एक स्वतन्त्र चर है और y एक आश्रित चर है।

दो अरिक्त समुच्चयों च् तथा फ़ का कार्तीय गुणन P × Q उन सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, जिनको प्रथम घटक P से तथा द्वितीय घटक Q, से लेकर बनाया जा सकता है। अतः
P × Q = {(p,q) : p ∈¬ P, q ∈¬ Q}
यदि P या Q में से कोई भी रिक्त समुच्चय है, तो उनका कार्तीय गुणन भी रिक्त समुच्चय होता है, अर्थात् P × Q = ∅

A = {DL, MP, KA}, जहाँ DL, MP, KA दिल्ली, मध्य प्रदेश, तथा कर्नाटक को निरूपित करते हैं और B = {01, 02, 03} क्रमशः दिल्ली, मध्य प्रदेश और कर्नाटक द्वारा गाडि़यों के लिए जारी लाइसेंस प्लेट की सांकेतिक संख्याएँ प्रकट करते हैं।
यदि तीन राज्य दिल्ली, मध्य प्रदेश और कर्नाटक, गाडि़यों के लाइसेंस प्लेट के लिए संकेत पद्धति (संकेतिकी) इस प्रतिबंध के साथ बना रहे हों कि संकेत पद्धति, समुच्चय A के अवयव से प्रारंभ हो, तो इन समुच्चयों से प्राप्त होने वाले युग्म कौन से हैं तथा इन युग्मों की कुल संख्या कितनी है।
प्राप्त होने वाले युग्म इस प्रकार हैं, (DL, 01), (DL, 02), (DL, 03), (MP, 01), (MP, 02), (MP, 03), (KA, 01), (KA, 02), (KA, 03) और समुच्चय A तथा समुच्चय B का कार्तीय गुणन इस प्रकार होगा,
A × B = {(DL, 01), (DL, 02), (DL, 03), (MP, 01), (MP, 02), (MP, 03), (KA, 01), (KA, 02), (KA, 03)}

(i) दो क्रमित युग्म समान होते हैं, यदि और केवल यदि उनके संगत प्रथम घटक समान हों और संगत द्वितीय घटक भी समान हों।
(ii) यदि A में p अवयव तथा B में q अवयव हैं, तो A × B में pq अवयव होते हैं अर्थात् यदि n(A) = p तथा n(B) = q तो n(A × B) = pq
(iii) यदि A तथा B अरिक्त समुच्चय हैं और A या B में से कोई अपरिमित है, तो A × B भी अपरिमित समुच्चय होता है।
(iv) A × A × A = {(a, b, c): a, b, c ¬∈ A} यहाँ (a, b, c) एक क्रमित त्रिक कहलाता है।

यदि (x + 1, y – 2) = (3,1), तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
क्योंकि क्रमित युग्म समान है, इसलिए संगत घटक भी समान होंगे।
अतः x + 1 = 3 और y – 2 = 1
सरल करने पर x = 2 और y = 3

यदि P = {a, b, c} और Q = {r}, तो P × Q तथा Q × P ज्ञात कीजिए। क्या दोनों कार्तीय गुणन समान हैं?
कार्तीय गुणन की परिभाषा से
P × Q = {(a, r), (b, r), (c, r)} और Q × P = {(r, a), (r, b), (r, c)} Q × P = {(r, a), (r, b), (r, c)}
क्योंकि, क्रमित युग्मों की समानता की परिभाषा से, युग्म (a, r) युग्म (r, a), के समान नहीं है और यह बात कार्तीय गुणन के प्रत्येक युग्म के लिए लागू होती है, जिससे हम निष्कर्ष निकालते हैं कि
P × Q ≠ Q × P
तथापि, प्रत्येक समुच्चय में अवयवों की संख्या समान है।