एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 7.2

समतल में स्थित दो बिन्दुओं को तीसरा बिन्दु जिस अनुपात में विभाजित करता है उसे विभाजन सूत्र कहते हैं। यह विभाजन दो प्रकार का होता है अन्त: विभाजन और बाह्य विभाजन।

किन्हीं दो बिंदुओं A(x₁, y₁) और B (x₂, y₂) पर विचार कीजिए और मान लीजिए बिंदु P(x, y) रेखाखंड AB को m₁ : m₂ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, अर्थात्
PA/PB = m₁ / m₂ है।
x-अक्ष पर AR, PS और BT लंब खींचिए। x-अक्ष के समांतर AQ और PC खींचिए। तब AA समरूपता कसौटी से,
∆ PAQ ~ ∆ BPC
अतः PA/BP = AQ/PC =PQ/BC (1)
अब AQ = RS = OS – OR = x – x₁
PC = ST = OT – OS = x₂ – x
PQ = PS – QS = PS – AR = y – y₁
BC = BT – CT = BT – PS = y₂ – y

इन मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता हैः
m₁ / m₂ = (x – x₁)/ (x₂ – x) = (y – y₁)/( y₂ – y)
m₁ / m₂ = (x – x₁)/ (x₂ – x) लेने पर x = (m₁ x₂ + m₂ x₁)/ (m₁ + m₂) प्राप्त होता है।
इसी प्रकार m₁ / m₂ = (y – y₁)/( y₂ – y) लेने पर y = (m₁ y₂ + m₂ y₁)/ (m₁ + m₂) प्राप्त होता है।
अतः, दो बिंदुओं A(x₁, y₁) और B (x₂, y₂) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को m₁ : m₂ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु P(x, y) के निर्देशांक हैं:
{(m₁ x₂ + m₂ x₁)/ (m₁ + m₂), (m₁ y₂ + m₂ y₁)/ (m₁ + m₂)}
उपरोक्त को विभाजन सूत्र कहते हैं।

एक रेखाखंड का मध्य-बिंदु उसे 1 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः, बिंदुओं A(x₁, y₁) और B (x₂, y₂) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB के मध्य-बिंदु के निर्देशांक
{(1 × x₂ + 1 × x₁)/ (1 + 1), (1 × y₂ + 1 × y₁)/ (1 + 1)}
{(x₂ + x₁)/2, (y₂ + y₁)/2} होंगे।

उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (4, – 3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल
मान लीजिए P(x, y) वांछित बिंदु है। विभाजन सूत्र का प्रयोग करने पर हमें
x = {3(8) + 1(4)}/(3 + 1) = 7,
y = {3(5) + 1(-3)}/(3 + 1) = 3 प्राप्त होते हैं।
अतः (7, 3) ही वांछित बिंदु है।