एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 14.1

किसी घटना के घटने या न घटने की सम्भाब्यता को उसकी प्रायिकता कहलाती है। उदाहरण के लिए यदि कोई सिक्का उछाला जाय तो या तो हेड आएगा या टेल आएगा। इस प्रकार 2 सम्भावना मे 1 हेड या 1 टेल आएगा। दोनों की ही प्रायिकता 1/2 होगी।
प्रायिकता P(E) = अभिप्रयोगों की संख्या जिनमें घटना घटित हुई है/अभिप्रयोगों की कुल संख्या

किसी घटना E की सैद्धांतिक प्रायिकता जिसे परंपरागत प्रायिकता भी कहा जाता है।ह P(E) निम्नलिखित रूप में परिभाषित की जाती है।
P(E) = E के अनुकू ल परिणामों की सख्ंया / प्रयोग के सभी संभव परिणामों की सख्ंया

एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जब एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है। साथ ही, एक पट प्राप्त करने की भी प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
एक सिक्के को एक बार उछालने के प्रयोग में, संभव परिणामों की संख्या 2 है: चित (H) और पट (T)। मान लीजिए घटना E ‘चित प्राप्त करना’ है। तब, E के अनुकूल (अर्थात् चित प्राप्त करने के अनुकूल) परिणाम 1 है। अतः,
P(E) = P (चित) = E के अनुकूल परिणामों की सख्ंया/ सभी संभव परिणामों की सख्ंया = 1/2
इसी प्रकार, यदि घटना F पट प्राप्त करना है, तो P(F) = P (चित) = ½

एक थैले में एक लाल गेंद, एक नीली गेंद और एक पीली गेंद है तथा सभी गेंदे एक ही साइज की हैं। कृतिका बिना थैले के अंदर झाँके, इसमें से एक गेंद निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गेंद
(i) पीली होगी?
(ii) लाल होगी?
(iii) नीली होगी?

हल:
कृतिका थैले में से, उसमें बिना झाँके, गेंद निकालती है। अतः, उसके द्वारा कोई भी गेंद निकालना समप्रायिक है।
माना ‘पीली गेंद निकालना’ घटना y है, ‘लाल गेंद निकालना’ घटना R है तथा ‘नीली गेंद निकालना’ घटना B है। अब, सभी संभव परिणामों की संख्या = 3 है।
(i) घटना Y के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
अतः P(Y) = 1/3
इसी प्रकार, P(R) = 1/3
और P(B) = 1/3

किसी प्रयोग की वह घटना जिसका केवल एक ही परिणाम हो प्रारंभिक घटना कहलाती है। उदाहरण 1 में दोनों घटनाएँ E और F प्रारंभिक घटनाएँ हैं।
ऊपर दिए गए उदाहरण में हम देखते हैं कि P(E) + P(F) = ½ + ½ = 1
नोट:
किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है। यह व्यापक रूप में भी सत्य है।

मान लीजिए हम एक पासे को एक बार फेंकते हैं।
(i) 4 से बड़ी संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
(ii) 4 से छोटी या उसके बराबर संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?

हल
(i) यहाँ मान लीजिए कि ‘4 से बड़ी संख्या प्राप्त करना’ घटना E है। सभी संभव परिणाम छः हैं, ये 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं। स्पष्टतः, घटना E के अनुकूल परिणाम 5 और 6 हैं। अतः E के अनुकूल परिणामों की संख्या 2 है। इसलिए
P(E) = P (4 से बड़ी संख्या) = 2/6 = 1/3
(ii) मान लीजिए ‘4 से छोटी या उसके बराबर संख्या प्राप्त करना’ घटना F है। सभी संभव परिणाम = 6 हैं।
घटना F के अनुकूल परिणाम 1, 2, 3 और 4 हैं।
अतः F के अनुकूल परिणामों की संख्या 4 है।
इसलिए P(F) = 4/6
= 2/3
क्या उपरोक्त उदाहरण में दी हुई घटना E और F प्रारंभिक घटनाएँ हैं? नहीं, ये प्रारंभिक घटनाएँ नहीं हैं, क्योंकि घटना E के 2 परिणाम हैं तथा घटना F के 4 परिणाम हैं।

1. प्रायोगिक प्रायिकता (वास्तविक प्रयोगों के परिणामों पर आधारित थीं।) और सैद्धांतिक प्रायिकता (जिसे पारंपरिक प्रायिकता भी कहते हैं) में अंतर।
2. घटना E की सैद्धांतिक (या परंपरागत) प्रायिकता P(E) को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जाता हैः P(E) = E के अनुकूल परिणामों की सख्ंया/ सभी संभव परिणामों की सख्ंया
   जहाँ हम कल्पना करते हैं कि प्रयोग के सभी परिणाम समप्रायिक हैं।