एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 11.1

त्रिज्यखंड: एक वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा (परिबद्ध) हो, उस वृत्त का एक त्रिज्यखंड कहलाता है।
वृत्तखंड: वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो एक जीवा और संगत चाप के बीच में परिबद्ध हो एक वृत्तखंड कहलाता है।
टिप्पणी
जब तक अन्यथा न कहा जाए, ‘वृत्तखंड’ और ‘त्रिज्यखंड’ लिखने से हमारा तात्पर्य क्रमशः लघु वृत्तखंड और लघु त्रिज्यखंड से होगा।

मान लीजिए OAPB केंद्र O और त्रिज्या R वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड है। मान लीजिए ∠ AOB का अंशीय माप θ है।
आप जानते हैं कि एक वृत्त [वस्तुतः एक वृत्तीय क्षेत्र या चकती] का क्षेत्रफल πr² होता है।
एक तरीके से, हम इस वृत्तीय क्षेत्र को केंद्र व् पर 360° का कोण बनाने वाला (अंशीय माप 360) एक त्रिज्यखंड मान सकते हैं। फिर ऐकिक विधि का प्रयोग करके, हम त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल नीचे दर्शाए अनुसार ज्ञात कर सकते हैंः

जब केंद्र पर बने कोण का अंशीय माप 360 है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr²
अतः, जब केंद्र पर बने कोण का अंशीय माप 1 है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr²/360
इसलिए जब केंद्र पर बने कोण का अंशीय माप θ है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr²/360 × θ
इस प्रकार, हम वृत्त के एक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के लिए, निम्नलिखित संबंध (या सूत्र) प्राप्त करते हैंः
कोण θ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = θ/360 × πr²
जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और θ त्रिज्यखंड का अंशों में कोण है।

अब एक स्वाभाविक प्रश्न उठता हैः क्या हम इस त्रिज्यखंड की संगत चाप APB की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। हाँ, हम ऐसा कर सकते हैं। पुनः, ऐकिक विधि का प्रयोग करने तथा संपूर्ण वृत्त (360° कोण वाले) की लंबाई 2πr लेने पर,
हम चाप APB की वांछित लंबाई θ/360 × 2πr प्राप्त करते हैं।
अतः कोण θ वाले त्रिज्यखंड के संगत चाप की लंबाई = θ/360 × 2πr

दिया हुआ त्रिज्यखंड OAPB है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = θ/360 × πr²
= 30/360 × 3.14 × 4 × 4 cm²
= 12.56/3 cm² = 4.19 cm²
संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² – त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल
= (3.14 × 16 – 4.19) cm²
= 46.05 cm² = 46.1 cm²