एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.4

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 1 प्रश्नावली 1.4 वास्तविक संख्याएँ के अभ्यास के प्रश्नों के हल छात्र यहाँ से प्राप्त कर सकते हैं। दसवीं कक्षा की प्रश्नावली 1.4 के सवाल जवाब सरल तरीके से बनाए गए हैं। प्रत्येक चरण को विस्तार से समझाया गया है। जिन विद्यार्थियों को पीडीएफ के माध्यम से समझ न आए वे विडियो समाधान की मदद से प्रश्नों को आसानी से समझ सकते हैं।

एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित अध्याय 1 प्रश्नावली 1.4

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परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनर्भ्रमण

परिमेय संख्याओं के या तो सांत दशमलव प्रसार होते हैं या फिर असांत आवर्ती दशमलव प्रसार होते हैं। हम एक परिमेय संख्या, मान लीजिए p/q (q ≠ 0), पर विचार करेंगे तथा यथार्थ रूप से इसकी खोज करेंगे कि p/q का दशमलव प्रसार कब सांत होगा और कब असांत आवर्ती होगा।

आइए निम्नलिखित परिमेय संख्याओं पर विचार करेंः
(i) 0.375 (ii) 0.104 (iii) 0.0875 (iv) 23.3408
अब
(i) 0.375 = 375/1000 = 375/10³
(ii) 0.104 = 104/1000 = 104/10³
(iii) 0.0875 = 875/10000 = 875/10⁴
(iv) 23.3408 = 233408/10000 = 233408/10⁴

इनको और सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
(i) 0.375 = 375/1000 = 375/10³ = 3 x 5³/2³ x 5³ = 3/2³
(ii) 0.104 = 104/1000 = 104/10³ = 13 x 2³/2³ x 5³ = 13/5³
(iii) 0.0875 = 875/10000 = 875/10⁴ = 5³ x 7/2⁴ x 5⁴ = 7/2⁴ x 5
(iv) 23.3408 = 233408/10000 = 233408/10⁴ = 2⁶ x 7 x 521/ 2⁴ x 5⁴ = 2² x 7 x 521/ 5⁴
प्राप्त सभी संख्याएं p/q के परिमेय संख्या के रूप में हैं।

कक्षा 10 गणित पाठ 1 प्रमेय 1.5

मान लीजिए x एक ऐसी परिमेय संख्या है जिसका दशमलव प्रसार सांत है। तब x को p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q सहअभाज्य हैं तथा q का अभाज्य गुणनखंडन 2ⁿ5ᵐ के रूप का है, जहाँ n और m कोई ऋणेतर पूर्णांक हैं।
उदाहरण
3/8 = 3/2³ = 3 x 5³/2³ x 5³ = 375/10³ = 0.375

ये उदाहरण यह दर्शाते हैं कि किस प्रकार p/q के रूप की एक परिमेय संख्या, जहाँ q, 2ⁿ5ᵐ के रूप का है, को
a/b के ऐसे तुल्य परिमेय संख्या में बदला जा सकता है, जहाँ b, 10 की कोई घात है। अतः इस प्रकार की परिमेय संख्या का एक सांत दशमलव प्रसार होगा।

कक्षा 10 गणित पाठ 1 प्रमेय 1.6

मान लीजिए x = p/q जहाँ p और q असहभाज्य हैं, एक परिमेय संख्या ऐसी है कि q, 2ⁿ5ᵐ के रूप का है, जहाँ n और m ऋणेतर पूर्णांक हैं। तब x का दशमलव प्रसार सांत होता है।

कक्षा 10 गणित पाठ 1 प्रमेय 1.7

मान लीजिए x = p/q, जहाँ p और q अभाज्य हैं, एक परिमेय संख्या इस प्रकार की है कि q का अभाज्य गुणनखंडन 2ⁿ5ᵐ के रूप का नहीं है, जहाँ n, m ऋणेतर पूर्णांक हैं। तब x का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

उदाहरण
यहाँ हम 1/7 का दशमलव प्रसार देखते हैं:
1/7 = 0.1428571…. के भागफल में 142857 अंकों के समूह के बाद पुनरावृति होगी अतः 1/7 का दशमलव प्रसार एक असांत आवृति है।

कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.4 समाधान
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