एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.2

अपरिमेय संख्या
संख्या “s” अपरिमेय संख्या कहलाती है, यदि उसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता हो, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है। अपरिमेय संख्याओं के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैंः
√2, √3, √15 , π, … आदि।

मान लीजिए p एक अभाज्य संख्या है। यदि p, a² को विभाजित करती है, तो p, a को भी विभाजित करेगी, जहाँ a एक धनात्मक पूर्णांक है।

√2 एक अपरिमेय संख्या है।
उपपत्ति
हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि √2 एक परिमेय संख्या है।
अतः, हम दो पूर्णांक r और s ऐसे ज्ञात कर सकते हैं कि √2 = r/s हो तथा s ≠ 0 हो।
मान लीजिए r और s में, 1 के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड है। तब, हम इस उभयनिष्ठ गुणनखंड से r और s को विभाजित करके √2 = a/b प्राप्त कर सकते हैं, जहाँ a और b सहअभाज्य हैं।
अतः b√2 = a हुआ।
दोनों पक्षों का वर्ग करने तथा पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
2b² = a²
अतः 2, a² को विभाजित करता है।
इसलिए प्रमेय 1.3 के अनुसार 2, a को विभाजित करेगा।

अतः हम a = 2 c लिख सकते हैं जहां c कोई पूर्णांक है।
a का मान प्रतिस्थापित करने पर 2b² = 4c², अर्थात b² = 2c² प्राप्त होगा।
इसका अर्थ है कि 2, b² को विभाजित करता है इसलिए प्रमेय 1.3 के अनुसार 2, b को विभाजित करेगा।
अतः a, b में एक उभयनिष्ट गुनंखंड 2 है।

परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a और b में, 1 के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास हमें इस कारण प्राप्त हुआ है, क्योंकि हमने एक त्रुटिपूर्ण कल्पना कर ली है कि √2 एक परिमेय संख्या है।
अतः, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।