एनसीईआरटी समाधान कक्षा 8 गणित प्रश्नावली 5.2

छोटी संख्याएँ जैसे 3, 4, 5, 6, 7, …. इत्यादि का वर्ग ज्ञात करना सरल है। लेकिन क्या हम 23 का वर्ग इतनी शीघ्रता से प्राप्त कर सकते हैं? इसका उत्तर इतना आसान नहीं है और हमें 23 को 23 से गुणा करने की आवश्यकता है।
इसे प्राप्त करने का एक तरीका है जो 23 × 23 को बिना गुणा किए प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि
23 = 20 + 3
इसलिए, 23² = (20 + 3)² = 20(20 + 3) + 3(20 + 3)
= 20² + 20 × 3 + 3 × 20 + 3²
= 400 + 60 + 60 + 9 = 529

निम्नलिखित संख्याओं का वर्ग गुणा किए बिना ज्ञात कीजिए:
(i) 39
(ii) 42
हल:
(i) 39² = (30 + 9)² = 30(30 + 9) + 9(30 + 9)
= 30² + 30 × 9 + 9 × 30 + 9²
= 900 + 270 + 270 + 81 = 1521
(ii) 42² = (40 + 2)² = 40(40 + 2) + 2(40 + 2)
= 40² + 40 × 2 + 2 × 40 + 2²
= 1600 + 80 + 80 + 4 = 1764

वर्ग के अन्य प्रतिरूप
25² = 625 = (2 × 3) सैकड़ा + 25
35² = 1225 = (3 × 4) सैकड़ा + 25
75² = 5625 = (7 × 8) सैकड़ा + 25
125² = 15625 = (12 × 13) सैकड़ा + 25

किसी प्राकृत संख्या m > 1 के लिए, हम पाते हैं (2m)² + (m² – 1)² = (m² + 1)²। अतः 2m, m² – 1 और m² + 1 पाइथागोरस त्रिक के रूप में हैं।
उदाहरण:
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
संख्या 3, 4, 5 के समूह को पाइथागोरस त्रिक कहते हैं। 6, 8, 10 भी एक पाइथागोरस त्रिक है। इसी प्रकार
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²

एक पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसकी सबसे छोटी संख्या 8 है।
हल:
साधारण रूप 2m, m² – 1 और m² + 1 से हम पाइथागोरस त्रिक पा सकते हैं।
पहले हम लेते हैं
m² – 1 = 8 या m² = 8 + 1 = 9
m = 3
इसलिए, 2m = 2 × 3 = 6
और m² + 1 = 10
अतः 6, 8, 10 एक त्रिक है लेकिन 8 सबसे छोटी संख्या नहीं है।
इसलिए हम लेते हैं 2m = 8
इसलिए m = 4
अतः m² – 1 = 15
और m² + 1 = 17
इस प्रकार 2m, m² – 1 और m² + 1 का ट्रिक 8, 15,17 है।