एनसीईआरटी समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 5 विविध प्रश्नावली

रैखिक समीकरणों को हल करते समय हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैंः
नियम 1:
एक समीकरण के दोनों पक्षों में समान संख्याएँ जोड़ी (अथवा घटाई) जा सकती हैं।
नियम 2:
एक समीकरण के दोनों पक्षों में समान शून्येतर संख्याओं से गुणा (अथवा भाग) किया जा सकता है।
नियम 3
एक असमिका के दोनों पक्षों में, असमिका के चिह्नों को प्रभावित किए बिना समान संख्याएँ जोड़ी (अथवा घटाई) जा सकती हैं।
नियम 4
किसी असमिका के दोनों पक्षों को समान धनात्मक संख्याओं से गुणा (या भाग) किया जा सकता है। परंतु दोनों पक्षों को समान ऋणात्मक संख्याओं से गुणा (या भाग, करते समय असमिका के चिह्न तदनुसार परिवर्तित कर दिए जाते हैं।
टिप्पणी:
ऋणात्मक संख्याओं से असमिका के दोनों पक्षों को गुणा (या भाग) करने पर असमिका के चिह्न विपरीत हो जाते हैं (अर्थात् “<” को >, “≥” को “≤” इत्यादि कर दिया जाता है)। इसका कारण निम्नलिखित तथ्यों से स्पष्ट हैः
3 > 2 जबकि – 3 < – 2
– 8 < – 7 जबकि (–8) (–2) > (–7) (–2), अर्थात् 16 > 14

30x < 200 को हल ज्ञात कीजिए जब (i) x एक प्राकृत संख्या है। (ii) x एक पूर्णांक है। हल: ज्ञात है कि 30x < 200 अथवा 30x/30 < 200/30 (नियम 2) x < 20/3 (i) जब x एक प्राकृत संख्या है। स्पष्टतः इस स्थिति में x के निम्नलिखित मान कथन को सत्य करते हैं। x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 असमिका का हल समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5, 6} है। (ii) जब x एक पूर्णांक है स्पष्टतः इस स्थिति में दिए गए असमिका के हल हैंः ......, - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 असमिका का हल समुच्चय {......, - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} है।

हल कीजिए 4x + 3 < 6x +7
ज्ञात है कि 4x + 3 < 6x + 7
अथवा 4x – 6x < 6x + 4 – 6x
अथवा – 2x < 4 अथवा x > – 2
अर्थात् -2 से बड़ी समस्त वास्तविक संख्याएँ, दिए गए असमिका के हल हैं। अतः हल समुच्चय (-2, ∞) है।

हल कीजिए (5 – 2x)/3 ≤ (x/6) – 5
हल:
हमें ज्ञात है कि (5 – 2x)/3 ≤ (x/6) – 5
या 2 (5 – 2x) ≤ x – 30
या 10 – 4x ≤ x – 30
या – 5x ≤ – 40
या x ≥ 8
अर्थात् ऐसी समस्त वास्तविक संख्याएँ जो 8 से बड़ी या बराबर है। अतः इस असमिका के हल x ∈ (8, ∞)