एनसीईआरटी समाधान कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 8.2

प्रमेय 8.4
एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
नोट: इस प्रमेय का विलोम भी सत्य है। अर्थात्
प्रमेय 8.5
यदि एक चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर हो, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
प्रमेय 8.6
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को (परस्पर) समद्विभाजित करते हैं।
इस प्रमेय का विलोम निम्नलिखित प्रमेय है:
प्रमेय 8.7
यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करें, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

प्रमेय 8.8: कोई चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है, यदि उसकी सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर हो और समांतर हो।
प्रमेय 8.9 (मध्य-बिंदु प्रमेय): किसी त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है।
नोट: इस प्रमेय का विलोम अगली प्रमेय है।
प्रमेय 8.10: किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

1. किसी चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है।
2. समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
3. एक समांतर चतुर्भुज में,
(i) सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
(ii) सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
(iii) विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
4. एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है, यदि
(i) सम्मुख भुजाएँ बराबर होंया
(ii) सम्मुख कोण बराबर होंया
(iii) विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते होंया
(iv) सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर हो और समांतर हो।

1. आयत के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं और बराबर होते हैं। इसका विलोम भी सत्य है।
2. समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। इसका विलोम भी सत्य है।
3. वर्ग के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं और बराबर होते हैं। इसका विलोम भी सत्य है।
4. किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा केसमांतर होता है और उसका आधा होता है।
5. किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
6. किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को एक क्रम से मिलाने वाले रेखाखंडों द्वारा बना चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।