एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 10.2

किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर केवल दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

उपपत्ति:
हमें केंद्र O वाला एक वृत्त, वृत्त के बाहर का एक बिंदु P तथा P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ, PR दी है।
हमें सिद्ध करना है कि PQ = PR
इसके लिए हम OP, OQ और OR को मिलाते हैं। तब ∠ OQP तथा ∠ ORP समकोण हैं क्योंकि ये त्रिज्याओं और स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण हैं और प्रमेय 10.1 से ये समकोण है।
अब समकोण त्रिभुजों OQP तथा ORP में,
OQ = OR (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
OP = OP (उभयनिष्ठ)
अतः ∆ OQP / ∆ ORP (RHS सर्वांगसमता द्वारा)
इससे प्राप्त होता है PQ = PR (CPCT)

टिप्पणी:
1. प्रमेय को पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके भी निम्न प्रकार से सिद्ध किया जा सकता हैः
PQ² = OP² – OQ² = OP² – OR² = PR² (क्योंकि OQ = OR)
जिससे प्राप्त होता है कि PQ = PR
2. यह भी ध्यान दीजिए कि ∠OPQ = ∠OPR, अतः OP कोण QPR का अर्धक है, अर्थात् वृत्त का केंद्र स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण अर्धक पर स्थित होता है।

हमें केंद्र O वाले दो सकेंद्रीय वृत्त C₁ और C₂ तथा बड़े वृत्त C₁ की जीवा AB, जो छोटे वृत्त C₂ को बिदु P पर स्पर्श करती है, दिए हैं।
हमें सिद्ध करना है कि AP = BP
आइए OP को मिलाएँ। इस प्रकार AB, C₂ के बिदु P पर स्पर्श रेखा है और OP त्रिज्या है।
अतः प्रमेय 10.1 से
OP ⊥ AB
अब AB वृत्त C₁ की एक जीवा है और OP ⊥ AB है। अतः, OP जीवा AB को समद्विभाजित करेगी क्योंकि केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उसे समद्विभाजित करता है,
अर्थात् AP = BP

1. किसी वृत्त पर बाह्य बिंदु से केवल दो स्पेश रेखाएं खींची जा सकती है।
2. वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
3. बाह्य बिदु से किसी वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ समान होती हैं।